WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoe kun je de formule van een parabool vinden?

Hoe kan je de formule van een parabool vinden?
Claudi
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 29 september 2003

Antwoord

Dit is wel een heel algemene vraag!
Het hangt er natuurlijk vanaf wat je al weet van die parabool.

In het antwoord op de volgende vraag staan een aantal links naar andere vragen. Daar zou je best wat aan kunnen hebben! Daar staan namelijk heel veel voorbeelden in.

Kwadratische formules en parabolen
Hier toch nog even een kort overzicht van hoe je de formule van een parabool kunt vinden.

Een parabool: wat eigenschappen
We gaan er hier even vanuit dat de parabool een symmetrie-as heeft die evenwijdig is aan de y-as.

Formules voor de parabool
De algemene formule van een parabool is dan:

y = ax² + bx + c

Maar je kunt dat ook schrijven als:

y = a(x - p)(x - q)
y = a(x - r)² + s

zie ook: Parabolen

De top
Voor de top geldt dat x = ^-b/_2a. y kun je dan berekenen uit de formule.

Er zijn een aantal manieren om de top te vinden.
Bereken eens de snijpunten met de lijn y = c. De x-coordinaat van de top, ligt precies midden tussen de x-coordinaten van deze twee punten
Je kunt denken aan de ABC-formule
De top zou je ook kunnen berekenen met hulp van afgeleides. Je moet je dan bedenken dat de afgeleide in de top 0 is.
Je kunt dus de techniek uitkiezen die jou het meeste ligt.

De symmetrie-as
De symmetrie-as is hier evenwijdig met de y-as en gaat door de top: daarom is x = ^-b/_2a de symmetrie-as.

Je hebt drie punten van de parabool
Als je drie verschillende punten van een parabool hebt, kun je zijn formule vinden.
We kunnen de punten invullen in de algemene formule en vinden dan drie vergelijkingen met drie onbekenden en dat is op te lossen.
Je doet dit door handig de drie gevonden vergelijkingen te combineren.

Met dit script kun je de vergelijking vinden van een parabool door 3 gegeven punten.

Je weet wat de top is van de parabool
Dat is niet genoeg. Je weet al wel een beetje meer van de parabool, maar nog niet genoeg.

Heb je al geleerd wat afgeleiden zijn dan kun je het volgende doen. Je vult de coordinaten van de top in in de volgende vergelijkingen:
0 = 2ax + b : de afgeleide is 0 in de top
y = ax² + bx + c : de algemene formule

Maar je kunt ook een andere schrijfwijze van de parabool-formule gebruiken:

y = a(x - r)² + s
r is de x-coordinaat van de top.
s is de y-coordinaat van de top. (ga maar eens na waarom)

Je ziet nu al waarom je nog bijvoorbeeld 1 ander punt nodig hebt om de hele vergelijking op te stellen.
Immers met de afgeleiden vind je maar 2 vergelijkingen met 3 onbekenden. En met de andere schrijfwijze zie je al dat "a" nog niet bepaald is!

Je weet wat de symmetrie as is en je hebt twee punten van de parabool die niet dezelfde y-coordinaat hebben.

Je kunt met behulp van de symmetrie-as makkelijk bepalen welke andere twee punten ook nog op de parabool liggen. Immers de symmetrie-as is hier evenwijdig aan de y-as, en dan is het niet zo moeilijk om de twee punten die je van de parabool hebt te spiegelen in deze symmetrie-as.
Je hebt dan genoeg punten om de formule te bepalen.

Je weet twee snijpunten met de x-as
Weer is dit niet genoeg. Maar je weet wel al heel wat meer!

In dit geval zou je gebruik kunnen maken van de volgende schrijfwijze:

y = a(x - p)(x - q)

Immers (p,0) en (q,0) zijn die snijpunten met de x-as.
Je hoeft dan alleen nog bijvoorbeeld een extra punt te hebben om de "a" te bepalen.

Andere gevallen
Hierboven zijn we er voor het gemak vanuit gegaan dat de symmetrie-as evenwijdig was aan de y-as.
Dit hoeft natuurlijk niet altijd zo te zijn.

De symmetrie-as zou ook evenwijdig kunnen zijn aan de x-as of zelfs schuin kunnen staan.

Als de symmetrie-as evenwijdig is aan de x-as geldt eigenlijk hetzelfde als hierboven beschreven, maar zijn de x en y omgewisseld.
Voor een scheve symmetrie-as geldt de volgende algemene formule:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 met B²-4AC = 0

In plaats van een gegeven top, symmetrie-as, willekeurig punt of snijpunten met de x-as, zouden ook nog een punt met de raaklijn in dat punt gegeven kunnen zijn.

Extra oefening
Om te oefenen om zulke formules zelf eens te maken. Zou je binnen wisfaq op parabolen kunnen zoeken en dan zelf eens de voorbeelden die daar staan proberen te maken.

Je kunt ook oefenen met een grafische rekenmachine.

Ook is het erg nuttig om eens wat te experimenteren met parabolen. Dan krijg je er gevoel voor en is het makkelijker dit allemaal te begrijpen. Dat is wel de andere kant op: je hebt een formule en je moet de grafiek tekenen, maar is wel heel nuttig.

Kijk bijvoorbeeld eens naar de volgende formules
y = x²
y = -x²
y = 1/2x²
y = x² + 2
y = (x+2)² = x²+4x+4
y = (x-2)² = x²-4x+4
y = (x-2)(x+2) = x²-4
Teken ze maar eens. Kijk dan naar de symmetrie-assen, de toppen, snijpunten met de assen en kijk of je iets opvalt aan de grafieken. Lijken ze op elkaar, zijn ze misschien hetzelfde maar dan verschoven?

Nog een leuke link:
Hier vind je een algemene formule voor 3 punten:
Algemene formule als 3 punten zijn gegeven (PDF)
Met dit script kun je de vergelijking vinden van een parabool door 3 gegeven punten.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 september 2003