WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergellijking oplossen

beste wisfaq,

ik wil de algemene oplossing bepalen van onderstaande vergelijking:
y''+2y'+10y=9e^(-x) [1]
'(...voor de eenvoud laat ik de uitwerking van de homogene oplossing achterwege)

het homogene deel is Ae(^-x)*cos(3x) + Be(^-x)*sin(3x)

(ivm met het imaginarie gedeelte 3i krijg je dan de goniometrische termen erbij)

Voor het particuliere gedeelte wordt in mijn voorbeeld
yp=Ae^(-x) toegepast. als regel heb ik geleerd dat je het rechterlid van de vergelijking[1] mag toepassen bij het oplossen van de particuliere gedeelte, mits deze geen deel uitmaakt van de homogene oplossing. Nou komt deze term dus (in tweevoud) bij de homogene oplossing voor.

mag je dit dan wel toepassen omdat er imaginarie gedeelte de term anders maakt?? of is het beter om Axe^(-x) te gebruiken??

mvg,

Carlos

carlos
Student universiteit - vrijdag 20 augustus 2010

Antwoord

Beste Carlos,

Die 'deel uitmaakt' moet je anders interpreteren: er komt wel een e^-x voor in de homogene oplossing, maar e^-x is zelf geen oplossing van de homogene differentiaalvergelijking. Je kan de constanten A en B immers niet zodanig kiezen, dat C.e^-x (verwarrend om hier weer A te gebruiken) een homogene oplossing is.

De 'truc' van je voorstel tot particuliere oplossing te vermenigvuldigen met x, is nodig wanneer het zonder die factor zelf een homogene oplossing is; dat is hier niet het geval en dus niet nodig.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 21 augustus 2010