WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Raakvlak

Hallo,

Ik ben wiskunde aan het studeren en bepaalde zaken lukken niet direct...

oefeningen die we gezien hebben:

stel de vergelijking op van het raakvlak aan het boloppervlak met vergelijking

x² + y² + z² =1 in het punt (1/2, 1/2, -1/ √2

hoe moet je zoiets oplossen?
eerst expliciet maken, maar hoe en wat dan?

een andere oef is:

bepaal de vergelijking an het raakvlak in het punt (3,2,2) aan het oppervlak met vergelijking:

x² + y² -2x -2y + z² = 7

Zou iemand me aub kunnen uitleggen hoe je zoiets moet oplossen?

Alvast bedankt!
gert
Student universiteit België - zaterdag 24 juli 2010

Antwoord

Hallo Gert,

Beide oefeningen zijn eigenlijk precies het zelfde alleen met andere gegevens. Zie dat beide vergelijkingen (zowel van oefening 1 als oefening 2) vergelijkingen van een bol zijn. Van deze vergelijkingen kun je bij allebei het middelpunt bepalen.

Bedenk dat een lijn door het middelpunt (M) en een punt (P) op de bol loodrecht staat op het raakvlak door dat punt P. Ook is bekend dat een loodrechte vector op een vlak de normaalvector is van dat vlak. Nu gaan we gebruik maken van het verband tussen een normaalvector en de vlakvergelijking:

normaalvector (a,b,c)^T $\Rightarrow$ vlakvergelijking: ax+by+cz=d

Wat moet je dus doen? Bepaal het middelpunt. Stel een vector op van dat middelpunt naar het gegeven punt (aflezen...). Die vector is de normaalvector van het gevraagde raakvlak. Schrijf deze normaalvector om naar de vlakvergelijking. Als voorbeeld doe ik oefening 2:

Bol: x²+y²-2x-2y+z²=7 $\Rightarrow$ (x-1)²-1+(y-1)²-1+z²=7 $\Rightarrow$ (x-1)²+(y-1)²+z²=9
Middelpunt=(1,1,0)
P=(3,2,2) (is gegeven)
Normaalvector=(2,1,2)^T
vlakvergelijking: 2x+y+2z=d.
Die d bereken je dan door de coördinaten van P in te vullen in het linker gedeelte:
2x+y+2z=2·3+2+2·2=12
2x+y+2z=12

Hopelijk begrijp je iedere stap die ik doe? Anders hoor ik het wel.

Mvg Thijs Bouten

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 25 juli 2010

Re: Raakvlak