|
|
|
\require{AMSmath}
Differentiaalvergelijking van Euler
Beste wisfaq,
Ik wil een d.v. via de substitutie x=et omzetten in een d.v. met constante coëfficiënten. Ik heb de volgende d.v.
(x2)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0
Ik heb hier voor de constante -4 gekozen.
Ik heb problemen met het omzetten van y'(x) en y''(x) naar functies van t.
vraag 1. Hoe vervang ik y(x) in de d.v. ?
vraag 2. Het volgende is niet correct, hier weet ik niet hoe ik correct wiskundig de substitutie moet uitvoeren
y'(x)=y'(et)=ety'(t), dus ik vervang nu y'(x) gewoon door et·y'(t)?
Na de substitutie deel je door et en blijft de volgende d.v. over
(·) y''(t)-4y(t)=0.
Maar als ik mijn berekening voortzet en deel door et dan krijg ik niet d.v. (·).
Groeten,
Viky
Viky
Student universiteit - dinsdag 29 juni 2010
Antwoord
Viky,
Als y=y(x)en x=exp(t) of t=lnx ,dan is dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(1/x)dy/dt,
dus x(dy/dx)=dy/dt.Verder is d2y/dx2=d(1/xdy/dt)/dx=
(1/x)(d2y/dt2)(dt/dx)-(1/x2)(dy/dt)=(1/x2)(d2y/dt2-dy/dt),dus
x2d2y/dx2=d2y/dt2-dy/dt.
De vgl.y''(t)-4y(t)=0 heeft een oplossing b.v. y(t)=exp(2t),waaruit dan volgt dat y(x)=exp(2lnx)=x2 een oplossing is van de oorspronkelijke vergelijking.Hopelijk zo duidelijk?
kn
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 30 juni 2010
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
