WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Absolute convergentie van een reeks

Beste wisfaq,

Zij f(x) de karakteristieke functie gedefinieerd op het interval [a,b] dat bevat is in het interval [pi,pi]; f(x)=1 als x in [a,b], and f(x)=0 anders.

De Fouriercoëfficiënten zijn

f^(n)=(1/2(pi)in)[e^(-ina)-e^(-inb)] voor alle n ongelijk aan 0, en f^(0)=(b-a)/2pi.

De Fourierreeks is

f(x)~(b-a)/2pi+[som]{(1/2(pi)in)[e^(-ina)-e^(-inb)]e^(inx)}, de som is voor all n ongelijk aan 0.

Ik wil graag het volgende aantonen
(a) Als a ongelijk aan -pi of b ongelijk aan pi, en a ongelijk aan b, dan is de reeks voor geen enkele x absoluut convergent. Hint: Het is voldoende aan te tonen dat voor veel waarden van n geldt dat |sin(ny)|=c0 met y=(b-a)2.
(b) De reeks convergeert voor all x.

Bij het oplossen van deze vraagstukken heb ik problemen met de (absolute) waarden van e^(-ina), e^(inx). Wanneer zijn ze begrensd en wat gebeurt er als n naar oneindig gaat? Ik ben in ieder geval tot het volgende gekomen:

Oplossing (a)
Ik neem van alle termen in de Fourierreeks de absolute waarde en kijk dan wat er gebeurt als n (of |n|?) naar oneindig gaat.
The term b-a/2pi is altijd gelijk aan constante voor a,b in [-pi,pi].
De termen in de som
noemer: |2(pi)in|=2(pi)n want|i|=1, dus de noemer gaat naar oneindig als |n|-oneindig.
|e^(-ina)|=?, wat gebeurt er als a niet gelijk is aan pi en |n|-oneindig?

|e^(inx)|=1 voor ieder waarde van x in het interval [-pi,pi]? Is dit altijd zo?

Oplossing (b)
Ik kijk wat er met de gebeurt als naar alle termen |n| naar oneindig gaat.

The term b-a/2pi is altijd gelijk aan constante voor a,b in [-pi,pi].
The termen in de som:
noemer: 2(pi)in gaat naar oneindig als |n| naar oneindig gaat?
teller: e^(-ina) en e^(-inb) zijn begrensd? Wat gebeurt er met deze termen als |n|-oneindig?

De term e^(inx)?

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
Student universiteit - woensdag 17 maart 2010

Antwoord

Hallo Viky

De formule van Euler uit de complexe analyse zegt dat e^it = cos(t) + i sin(t), voor alle t in . (Dat wil zeggen: e^it ligt in het complexe vlak op de eenheidscirkel (cirkel met straal 1 rond het punt 0), en de t stelt gewoon de rotatie over de hoek t voor, in radialen, gemeten vanaf de positieve x-as.)
Met deze formule weet je dus dat zowel de modulus van e^inx als e^-ina gelijk is aan 1.

Frank

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 19 maart 2010