WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Meetbare verzamelingen

Dit is een reactie op vraag 60075

Wederom bedankt! Begrijp ik nu goed dat dus eigenlijk altijd geldt dat s-algebra A bevat is in de s-algebra M (de verzameling van meetbare verzamelingen) ?

In mijn boek staat dat als de ruimte (X,A,m) s-eindig is er zelfs geldt dat A=M Maar waarom is dit? Ik weet wat s-eindig betekent. Maar als je toch een rij integreerbare verzamelingen hebt dan is het toch nogal wiedes dat die verzamelingen meetbaar zijn? En dat dan geldt A=M ? Waarom moet dan ook gelden dat de vereniging van die integreerbare verzamelingen X is? Die extra eis begrijp ik niet zo....
j
Student hbo - zondag 4 oktober 2009

Antwoord

Inderdaad elk element van A is meetbaar-in-de-uitgebreidere-zin.
De gelijkheid A=M is niet zonder meer waar, zoals het voorbeeld met c=0 laat zien: A={leeg, X} en M is de hele machteverzameling van X. Een minder flauw voorbeeld: A de Borel sigma-algebra van R, m de Lebesgue-maat en M de sigma-algebra der Lebesgue-meetbare verzamelingen; de maatruimte (R,A,m) is sigma-eindig maar A is niet gelijk aan M. De definitie van sigma-eindig is een definitie; die eist dat X de vereniging van aftelbaar veel verzamelingen van eindige maat is. Veel maatruimten hebben die eigenschap en voor dat soort maatruimten is een theorie op te bouwen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 5 oktober 2009