WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De afgeleide bepalen

Ik moet van deze sommen de afgeleide weten. Ik weet het antwoord al, ik kom alleen niet uit de berekening. Het probleem is dat ik niet weet met welke regels. Ik heb alle regels geprobeerd op de sommen maar het goede antwoord komt er niet uit!

y= 6x(1+x²)³ = y'= 6(1+x²)³+36x²(1+x²)²

y=√(1+√x) = 1/ 4√(1+√x)·√(x)

k(x)= -2/x tot de 4e macht + x tot de 4e macht/2 =
8/x tot de 5e macht + 2x³

y= (1+ (1/x))² = -(2/x²) - 2/x³

y= √(5x) + x√(5) =5/2[WORTEL(5x) + √(5)

1/4(x²-1) =-x/ 2(2x²-1)²

y= √(2x+1)/x = -x-1/x²√(2x+1)

y= 1/1+1/x =1/(x+1)²
laura
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 16 december 2002

Antwoord

Hoi Laura,

Dan zullen we maar direct beginnen met antwoorden...
De eerste functie y= 6x(1+x²)³ afleiden. Eerst zou je al moeten zien dat het hier over een product gaat, want je vermenigvuldigt die 6x met (1+x²)³. De productregel zegt (f.g)' = fg' + gf' Hier dus (6x)((1+x²)³') + (6x)'((1+x²)³ ).
Om ((1+x²)³)' te berekenen moet je de kettingregel gaan gebruiken. Ik hoop dat je die kent, anders moet je maar 'ns zoeken op deze site.
Hier toegepast krijg je : stel u = 1 + x², du = 2x. y = u³, dy = 3u² Þ 2x.3(1+x²)² = 6x(1+x²)². Maar da's alleen de afgeleide van ((1+x²)³, maar er stond (6x)((1+x²)³') + (6x)'((1+x²)³); dus krijg je 6x.6x(1+x²)² + 6((1+x²)³) = 36x²(1+x²)² + 6((1+x²)³. Want (6x)' = 6.

Tweede functie (1+x). Als eerste zou ik de eerste wortel herschrijven als een macht. Je weet dat x = x^0,5? Dan krijg je hier (1+x)^0,5. Om die functie te differentiëren zou je de kettingregel moeten gebruiken. Stel u = 1 + x, du = (x^0,5)' = 0,5x^0,5-1 = 0,5x^-0,5 = 1/(2x). y = u^0,5 dus dy = 1/(2u) = 1/(2(1 + x)). Nu is het gewoon een kwestie van de afgeleide 'schakels' met elkaar te vermenigvuldigen. 1/(2(1 + x)) ´ 1/(2x) = 1/(4x(1+x)).

Dan k(x) = -2/(x⁴) + x⁴ / 2.
Je ziet ten eerste al dat 't om een som gaat, dus moet je de somregel gaan toepassen. (f + g)' = f' + g'.
Hier dus (-2/(x⁴))' + (x⁴ / 2)'.
Je kunt die -2 en die 2 opvatten als constanten, want de afgeleide van 3x is bijvoorbeeld 3 aangezien we die 3 als constante opvatten. Hier krijgen we dus -2 ´ 1/x⁴ + ¹/₂ ´ x⁴. Die 1/x⁴ mogen we herschrijven als x^-4 en dan krijgen we als afgeleide (-2x^-4)' + (x⁴´¹/₂)' = -2(-4)x^-5 + 4x³/2 = 8x^-5 + 2x³. En die 8x^-5 is herschrijfbaar als 8/x⁵.

De volgende functie is van de vorm (a + b)² = a² + 2ab + b².
Hier toegepast krijg je 1 + 2(1/x) + (1/x)² = 1 + 2/x + 1/x². Dit kun je herschrijven als 1 + 2x^-1 + x^-2. Hier de afgeleide van nemen krijg je 2(-1)x^-1-1 + (-2)x^-2-1 = -2x^-2 - 2x^-3 en dit is hetzelfde als -2/x² - 2/x³.

Bij deze wortelfunctie is een som, dus hier de somregel gebruiken. ((5x))' + (x5)'. Die laatste (x5)' kun je zo al berekenen, want dat is een vermenigvuldiging met een constante (namelijk 5), en de afgeleide van x = 1 Þ afgeleide is 5.
Nu nog (5x) afleiden. Hier weer de kettingregel toepassen. Je gebruikt de kettingregel altijd als er iets anders staat dan de "normale" functie, maar je moet de standaardfunctie er wel in terugzien, anders is het moeilijk de functie is twee schakels op te splitsen. (je splits ze juist op, zodat ze gemakkelijk te differentiëren is).
Stel u = 5x Þ du = 5 ; y = u Þ dy = 1/2u = 1/(2(5x)) Dus 5 / (2(5x)) is de afgeleide van (5x). We hadden al berekend dat (x5)' = 5, dus gecombineerd krijgen we 5 / (2(5x)) + 5.

De volgende dan. Ik zou die functie eerst anders schrijven. Je hebt namelijk een constante term ¹/₄. Dus herschrijft die functie als ¹/₄ ´ (1/(x² - 1)).
Nu alleen (1/(x² - 1)) afleiden en vermenigvuldigen met ¹/₄.
(1/(x² - 1)) is hetzelfde als (x² - 1)^-1 en om die functie af te leiden hebben we onze geliefde kettingregel weer nodig (je zou ook de quotiëntregel kunnen gebruiken, maar dat is vrij omslachtig). Stel u = x² - 1, du = 2x. y = u^-1 dy = -u^-2, dus dy = - (x² - 1)^-2. Nu de afgeleide schakels weer met elkaar vermenigvuldigen. -2x(x²-1)^-2 en dit anders geschreven is -2x/(x² - 1)². Dit alles nog 'ns vermenigvuldigd met die ¹/₄ levert -2x/4(x² - 1)² op, nu mogen we zowel in de teller als in de noemer delen door 2 (dus vereenvoudigen), krijgen we -x/(2(x²-1)²).

De volgende zou ik eerst met de quotiëntregel doen, en indien nodig de kettingregel erbij nemen.

Bij die laatste heb je hoogstwaarschijnlijk een typfout gemaakt, want de afgeleide van 1/1 + 1/x = (1/x)' = (x^-1)' = -x^-2 = -1/x².
Indien de afgeleide 1/(x+1)² zou zijn, dan moest de functie -1/(x+1) geweest zijn.

Indien er nog onduidelijkheden zijn, stel gerust nog een vraag.

Groetjes,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 17 december 2002