WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Substitutiemethode

Beste meneer, mevrouw,

Kort geleden hebben ik van mijn docente wiskunde geleerd dat je bij primitivieren en de kettingregel altijd de substitutieregel kunt gebruiken. Klopt dit? Kun je echt altijd deze regel toepassen? Ik kom namelijk ontzettend vaak niet uit. De substitutieregel hebben wij op de volgende manier geleerd:

1). Schrijf eerst de formule op: f(x)=(3x-4)³
2). Stel: u=3x-4
3). du/dx=3 - dx=du/3=(1/3)du
4).ò(3x-4)³dx=òu³dx=òu³·(1/3)du=(1/3)òu³du=(1/3)·(1/4)u⁴+c
5). Dus F(x)= (1/12)(3x-4)⁴+c

Pas ik dit stappenplan echter toe bij vele andere sommen, dan kom ik steeds niet uit. Bijvoorbeeld bij deze som:

Bereken exact: òsin³(x)dx
Wanneer ik vervolgens u=sin(x) stel en de primitieve verder wil berekenen doordat je òu³dx krijgt, kom ik niet uit! Nu heeft mijn docente deze som voorgedaan en ik weet inmiddels hoe hij wel moet. Je moet sin³(x) namelijk eerst verder herleiden. Maar mijn vraag is: waarom kan ik niet gewoon u=sin(x) stel en vervolgens u³ nemen?

Ook bij andere sommen kom ik verkeerd uit, doordat je een bepaalde formule blijkbaar eerst verder moet herleiden. Waarom is dat zo en hoe weet je nu wanneer je iets verder moet herleiden en tot hoe ver zelfs? Zo wordt sin³(x) hierboven eerst herleid tot sin²(x)·sin(x) en dan wéér verder tot (1-cos²(x))sinx(x). Waarom moet je deze nóg verder herleiden.

Hopelijk weet u daar een antwoord op. Het zou me in ieder geval een heel eind verder helpen. Alvast bedankt !
Groetjes!
Lynn
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 10 juni 2009

Antwoord

Je kunt de substitutieregel NIET ALTIJD gebruiken, de functie moet daar geschikt voor zijn.
Soms is hij dat direct, soms na wat trucjes, soms helemaal niet.

Om maar bij jouw voorbeeld te beginnen:
f(x)=sin³(x)
Je zou willen nemen u=sin(x)
dan u=sin(x), dus du/dx=cos(x), dus dx=du/cos(x) en dan hang je want nergens in het functie voorschrift van f komt die cos voor, zodat je die kwijt kunt raken.
Het komt er op neer dat je probeert ergens in het voorschrift van f (of in de herschreven vorm van f) du/dx probeert op te sporen.
Pas in de vorm (1-cos²(x))(sin(x)) met u=cos(x) is dat het geval, immers du/dx is dan -sin(x)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 10 juni 2009

Re: Substitutiemethode