WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Zaklantaarn en batterijen

Hoi ik heb een vraag waar ik ten dele uitkom maar niet volledig.

Om een zaklantaarn te laten werken moeten 2 batterijen worden geplaatst. hij werkt enkel als ze het allebei doen. ik heb een doos met 4 goede batterijen en 2 kapotte.
A) ik pak twee willekeurige batterijen hoe graat is de kans dat de lamp het doet. ( volgens mij) 4/6 · 3/5 = 0,4 de kans dat hij het niet doet is hiermee 0,6

B) stel dat de zaklantaarn na de eerste poging niet werkt. de 2 batterijen worden allebei weggegooid. zonder te weten of er wellicht een goede bij zat. hierna worden de volgende batterijen in de zaklanaarn geplaatst. hoe groot is de kans dat de zaklantaarn het nu weer niet doet.

Zoals ik het begrijp vragen ze de kans dat hij het de tweede keer niet doet, onder de voorwaarde dat hij het de eerste keer niet deed. Dat hij het de eerste keer niet deed is dus GEGEVEN en is 0,6.

Echter twee mogelijkheden. Ik had eerst 1 kapotte batterij erin. of ik had er eerst 2 in. Kans op 1 kapotte erin bij de eerste keer = 8/15 de kans op 2 kapotte de eerste keer = 1/15

nu komt het: kans dat ik de 2e maal weer niet doet onder de voorwaarde dat ik de eerste keer 2 slechte heb gepakt is 0. immers er zijn enkel 4 goede over.

de kans dat hij het de 2e keer neit doet onder de voorwaarde dat ik 1 slechte heb gepakt de eerste keer = 0,5 immers ik heb dan 3 goede en 1 slechte over.

maar nu, moet ik nu zeggen dat is een half? of moet ik kijken wat de kans is op uberhaupt zo'n situatie ( dus zonder onder de voorwaarde) 1/15 · 0 + 8/15 · 0,5 = 0,267 er stond al gegeven dat hij het de eerste keer niet doet. onder dat gegeven is de kans dat hij het de tweede keer ook niet doet een half volgens mij. kortom ik ben in de war met het begrip voorwaardelijk in deze. of moet ik het nog ander zoeken namelijk: met de regel van bayes of zo.

dan zeg ik, de kans dat er 2 lege inzaten onder de voorwaarde dat hij niet werkt is 1/15 : 0,6 = 0,111
de kans dat er 1 leeg was onder de voorwaarde dat hij niet werkt = 8/15 : 0,6 = 0,889

in situatie 1 is de kans dat hij het de 2e keer weer niet doet 0. in situatie 2 is de kans dat hij het weer niet doet 0,5. de kans dat de zaklantaarn ook de tweede keer, gegeen de eerste weigering) = 0,111 ·0 + 0,889 ·0,5 = 0.444

Aub goede uitleg. snap er niets van....
janhen
Student hbo - zondag 7 juni 2009

Antwoord

Je moet handig omspringen met de basisregel P(A|B) = P(A en B)/P(B) (in beide richtingen!) en als je op een consequente en duidelijke manier de gebeurtenissen en kansen neerschrijft, vergemakkelijkt het rekenen op automatische piloot (in plaats van je telkens de situatie opnieuw te moeten voorstellen).

Noem Z1 de gebeurtenis dat de zaklantaarn werkt bij de eerste poging. Noem Z2 de gebeurtenis dat de zaklantaarn werkt bij de tweede poging.

De gevraagde kans is P(Z2 | niet Z1) = P(Z2 en niet Z1) / P(niet Z1)

De kans in de teller bevat twee redenen waarom de zaklantaarn niet werkt: ofwel zat er bij de eerste trekking een werkende batterij en een kapotte, ofwel waren het twee kapotte. Die gevallen zullen we dus zeker apart moeten bekijken, aangezien de kansen bij de volgende trekking er rechtstreeks van afhankelijk zijn. Noem X het aantal werkende batterijen bij de eerste trekking.

P(Z2 en niet Z1) = P(Z2 en X=0) + P(Z2 en X=1)
P(niet Z1) = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0) = 1/15
P(X=1) = 8/15
P(X=2) = 6/15
dus P(niet Z1) = 1/15 + 8/15 = 9/15

Noem Y het aantal werkende batterijen bij de tweede trekking. Je bekomt

Voor X=0 (dus er zijn 4 werkende en 0 kapotte batterijen over)

P(Y=0 | X=0) = 0
P(Y=1 | X=0) = 0
P(Y=2 | X=0) = 1

dus P(Z2 | X=0) = 1
dus P(Z2 en X=0) = (1).(1/15) = 1/15

Voor X=1 (dus er zijn 3 werkende en 1 kapotte batterij over)

P(Y=0 | X=1) = 0
P(Y=1 | X=1) = 1/2
P(Y=2 | X=1) = 1/2

dus P(Z2 | X=1) = 1/2
dus P(Z2 en X=1) = 4/15

Hieruit volgt nu

P(Z2 en niet Z1) = 1/15 + 4/15 = 1/3

zodat de gevraagde kans

P(Z2 | niet Z1) = (1/3) / (9/15) = 5/9

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 7 juni 2009