WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Som-en verschilformule

Ik doe zelfstudie en bij het bewijzen van de formule voor cos(a-b) is me niet alles duidelijk:

"in de goniometrische cirkel tekenen we twee omwentelingshoeken a en b, bepaald door hun beeldpunten P en Q.

Het wordt bewezen door |PQ|² op twee manieren te berekenen:

- met behulp van de cosinusregel:
|PQ|² = |OP|²+|OQ|²-2|OP||OQ|cos(a-b)
|PQ|² = 1+1-2cos(a-b)

= hoe kan ik de cosinusregel ergens mee bewijzen, ik weet niet meer waar en hoe ik die geleerd heb?

- met behulp van de formule voor de afstand tussen twee punten:
|PQ|²= (cosa-cosb)²+(sina-sinb)²
.... deze wordt dan verder uitgewerk, maar dat is allemaal duidelijk.

= ik zou willen weten waar deze formule vandaan komt, ik kan he me niet meer herinneren.

Bedankt.
aniek
3de graad ASO - dinsdag 3 maart 2009

Antwoord

1) De cosinusregel is bruikbaar in elke soort driehoek. Het bewijs kan als volgt verlopen. Noem de driehoek ABC en noem BC = a, AC = b en AB = c.
Trek hoogtelijn CD en noem deze h.
Je hebt nu twee rechthoekige driehoeken naast elkaar staan, namelijk de driehoeken ADC en DBC. Dan ga je twee keer de stelling van Pythagoras gebruiken. Als je voor het gemak AD = p noemt en (dus) DB = c - p, dan krijg je a² = h² + (c - p)² en b² = p² + h².
Zet deze twee vergelijkingen nu netjes onder elkaar en trek de linker- en rechterleden van elkaar af. Daarbij vervalt de term h² en door ten slotte nog te gebruiken dat cosa = p/b kom je op (één van) de cosinusregels uit.

2) Dit is in wezen de stelling van Pythagoras.
Als de coördinaten van de punten A en B resp. zijn A(a,b) en B(c,d), dan volgt de afstand van deze punten uit AB² = (a-c)² + (b-d)².
Hier heb je twee punten waaarvan de coördinaten in sinus- en cosinuswaarden zijn uitgedrukt.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 3 maart 2009