WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oranje boven

Ik heb een gokspel bedacht dat ik 'Oranje boven noem' waar ik een vraag over heb.

Het gaat om een bak met heel veel gekleurde ballen.

Er zijn voornamelijk 3 kleuren, namelijk rood, wit en blauw.

Gemiddeld geldt:

1/3 van de ballen is rood
1/3 van de ballen is wit
1/3 van de ballen is blauw

Mensen mogen dan voor geld gaan gokken op de kleur die komen gaat. Ze mogen ook voor geld gokken op de volgorde van kleuren die komen gaat (tot maximaal een serie van 10).
Wat de mensen steeds zien, is de kleur van de vorige 10 ballen.

Op basis daarvan zouden zij kunnen schatten wat de volgende bal wordt.

Bij het goed raden van 1 kleur verdien je 3 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 2 kleuren verdien je 3x3=9 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 3 kleuren verdien je 3x3x3=27 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 4 kleuren verdien je 3x3x3x3=81 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 5 kleuren verdien je 3x3x3x3x3=243 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 6 kleuren verdien je 3x3x3x3x3x3=729 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 7 kleuren verdien je 3x3x3x3x3x3x3=2187 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 8 kleuren verdien je 3x3x3x3x3x3x3x3=6561 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 9 kleuren verdien je 3x3x3x3x3x3x3x3x3=19683 keer je inzet terug.
Bij het goed raden van 10 kleuren verdien je 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3=59049 keer je inzet terug.

Om het extra leuk te maken, wordt er 1 oranje bal in de bak gedaan, die als een zogenaamde jackpot fungeerd.
Iedereen die op dat moment speelt heeft dan prijs.

Mijn vraag met betrekking tot dit spel aan u is de volgende: Hoeveel ballen moeten er MINIMAAL in de bak zitten, zodat de kans dat er een witte, rode of blauwe bal valt gemiddeld 1/3 blijft als er steeds 10 ballen buiten die bak zijn?

Met vriendelijke groeten,

P.S. de Winter
P.S. d
Student universiteit - zondag 7 december 2008

Antwoord

Beste heer de Winter,

De uitbetalingsregeling van uw spel is verliesgevend.

Er zijn 3 kleuren, te weten rood, wit en blauw. Van iedere kleur zitten x ballen in een bak. Ook zit er 1 oranje bal in de bak.

Er zijn 10 ballen zichtbaar, dus er zitten nog 3x+1-10 ballen in de bak.

De speler weet welke 10 ballen uit de bak zijn.

Kansberekeningen: P({rood}|{#rode zichtbaar, #witte zichtbaar, #blauwe zichtbaar, #oranje zichtbaar) -- dit betekent: De kans (P:Probability) dat de volgende bal een rode zal zijn, gegeven de 10 ballen die zichtbaar zijn.

P({rood}|zichtbare ballen) + P({wit}|zichtbare ballen) + P({blauw}|zichtbare ballen) + P({oranje}|zichtbare ballen) = 1

P(rood|10rood,0wit,0blauw,0oranje) = ^x-10+1/_(x-10)+x+x+1 = ^x-9/_3x-9

P(rood|9rood,1wit,0blauw,0oranje) = P(rood|9rood,0wit,1blauw,0oranje) = ^x-9+1/_{(x-9)+(x-1)+x+1}

P(rood|9rode,0wit,0blauw,1oranje) = ^x-9/_{(x-9)+(x-1)+x+1}

etc. etc.

Deze kansberekeningen kun je uitwerken.

Vervolgens ga je deze kansberekeningen omzetten in verwachtingen (E:Expectation)

E(rood|10rode) = P(rood|10rode)·Uitbetaling(1 bal) = P(rood|10rode)·3
Omdat E(rood|10rode)1 is, is het spel in dit scenario verliesgevend.

Als je nou alle kansberekeningen uitwerkt, en ook alle verwachtingen uitwerkt, en vervolgens de gemiddelde verwachting berekent van alle verwachtingen ben je klaar.

Is de gemiddelde verwachting:
a) 1, dan is het spel verliesgevend [Ik verwacht dat dit het geval zal zijn]
b) =1, het spel is niet verliesgevend, noch winstgevend
c) 1, het spel is winstgevend, goed bedacht!

Ik verwacht dat het spel verliesgevend is door de uitbetalingsregeling. Een andere uitbetalingsregeling maakt het spel misschien interessanter.

Hoe groot x moet zijn zodat de kans ¹/₃ is: x=¥ (x = oneindig)

Ik hoop dat je hier iets mee kunt.

Mijn advies: speel het spel niet, je zult er waarschijnlijk verlies op draaien. Mijn devies: pas uitbetalingsregeling aan! 'Word of advice': het spel lijkt heel erg op een kansspel, dus eist de wet dat je een kansspelvergunning nodig hebt voor het spel te mogen aanbieden.

Vriendelijk groetend,

Percy

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 28 december 2008