WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Limiet leidend tot e (2)

Dit is een reactie op vraag 57211

Voor de duidelijkheid, ik reken nu wel met de CORRECTE formule, ben nogal wazig bezig geweest, maar dit is de CORRECT formule:

lim_n®¥ ((n+2)^(n+3))/((n+1)^(n+2)) - ((n+1)^(n+2))/n^(n+1))

Met de uitwerking daarvan ben ik nu bezig...
Floris
Student universiteit - woensdag 19 november 2008

Antwoord

Haal ((n+1)/n)ⁿ⁺¹ buiten de haakjes, die factor heeft limiet e.
Wat binnen de haakjes blijft heeft limiet 1 maar dat kost enige moeite. je kunt het omwerken tot (n+2)²/(n+1)*((n²+2n)/(n²+2n+1))ⁿ⁺¹-(n+1).
Die n+1-de macht kun je schrijven als (1-1/(n+1)²)ⁿ⁺¹; met behulp van de ongelijkheid van Bernoulli (zie de link) kun je aantonen dat die macht tussen n/(n+1) en (n+1)/(n+2) ligt; het stuk tussen de haakjes ligt daarmee tussen (n²+n-1)/(n²+2n+1) en 1.
Zie Ongelijkheid van bernoulli (wikipedia)

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 20 november 2008