WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs over een determinant

Ik moet het volgende bewijs leveren:
De punten (a1,a2), (b1, b2) en (c1, c2) in R² liggen op 1 lijn

Û
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2| = 0
|1  1  1 |
Ik snap dat de kolommen van de determinant de punten (a1,a2), (b1,b2) en (c1,c2) voorstellen nadat ze in het vlak x3 = 1 geplaatst zijn. Dus die punten stellen een vlak voor. Als de determinant van dat vlak nul is, moeten de punten dus op 1 lijn liggen. Ik weet alleen niet hoe je dit kunt bewijzen. Ik neem aan dat je dan moet bewijzen waarom de kolommen die punten voorstellen en dus een vlak zijn? Hopelijk kunt u me helpen.

Bij voorbaat dank,

José
José v
Student universiteit - zondag 28 september 2008

Antwoord

Dag José,

Je hebt allicht de eigenschap gezien dat de rechte door twee punten in het vlak, gegeven kan worden door een determinantvergelijking? Namelijk, de rechte door (a1,a2) en (b1,b2) wordt gegeven door de vergelijking

det
x y 1
a1 a2 1
b1 b2 1
=0.

Als je deze eigenschap niet gezien hebt moet je die natuurlijk eerst aantonen, maar dat gaat vrij eenvoudig: stel op de klassieke manier de rechte door de twee punten op, je krijgt exact hetzelfde resultaat als wanneer je bovenstaande determinant uitschrijft.

Goed, je kan dan nog een paar rijen wisselen en transponeren om deze determinant te doen lijken op die uit je opgave, dat verandert niks aan het nul zijn van je determinant. En stel dat je dan de implicatie naar rechts wil aantonen, dus als de drie punten op een lijn liggen, dan is de determinant nul. Wel, als ze op een lijn liggen dan moet (c1,c2) voldoen aan de vergelijking van de rechte door (a1,a2) en (b1,b2), dus als je x=c1 en y=c2 invult in de vergelijking van je rechte (in determinantvorm) dan moet je nul krijgen, dat is nu exact wat er rechts van het equivalentieteken staat.

En omgekeerd natuurlijk juist hetzelfde: als die determinant nul is dan voldoet (x,y)=(c1,c2) aan de vergelijking van de rechte door (a1,a2) en (b1,b2), dus de drie punten liggen op één rechte.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 september 2008