WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Berekenen van hoeken tussen vlakken van een regelmatig viervlak

ABCD is een regelmatig viervlak met a als lengte van de ribben.
1 Als M het midden is van [AC], dan is hoek BMD een hoek tussen vl(A,B,C) en vl (A,C, D). toon aan.
2 Bereken die hoek
3 Bereken de hoek tussen AB en vl(B,C,D)

Hallo,
ik zit momenteel in de knoei met deze opgaven.
Ik weet hoe je de hoek tussen een rechte en een vlak of tussen 2 vlakken moet berekenen adh richtingsvectoren.
Het probleem dat ik hier heb is : hoe leg ik mijn assen (x,y en z) zodat ik de coördinaatsgetallen van A,B,C en D kan berekenen. Ik weet al dat elke hoek normaal 60° is.

Ik had al geprobeerd met een niet orthonormaal assenstelsel door AD op de y-as, AB op de z-as en BC op de x-as te leggen. Dan kom ik mooie coördinaten uit, maar de oplossing verschilt van deze in het boek.

kunnen jullie me op weg helpen aub ?

Dank bij voorbaat
Marc D
3de graad ASO - zondag 28 september 2008

Antwoord

1) Om de hoek van twee vlakken te bepalen, moet je een vlak vinden dat loodrecht op de snijlijn van die vlakken staat. Die snijlijn is in dit geval AC en je moet nu proberen aan te tonen dat AC loodrecht op vlak BMD staat. Dat is vrij eenvoudig in te zien, want AC staat zowel loodrecht op BM als op DM. Dat heb je te danken aan het feit dat het lichaam opgebouwd is uit gelijkzijdige driehoeken.
De snijlijn van vlak BMD (een zogeheten standvlak) met ABC en ACD zijn BM resp. DM en daarom is ÐDMB de gewenste hoek.

2) Dankzij de gelijkzijdige driehoeken kun je de hoek vrij simpel te weten komen. Uit BC = a en MC = ¹/₂a vind je (bijv. met de stelling van Pythagoras) de lengte van BM. Je kunt ook werken met sin30° en/of cos60°.
Als we het punt in het grondvlak recht onder D aanduiden met D', bedenk dan dat MD' = ¹/₃BM (want BM is ook nog eens zwaartelijn) en dus weet je ook de lengte van D'M.
In de rechthoekige driehoek DMD' kun je nu via de cosinus de gewenste hoek te weten komen.

3) Om de hoek van ribbe AB en vlak BCD te vinden, zul je ribbe AB moeten projecteren op dat vlak.
Omdat B er al in ligt, valt B samen met de eigen projectie B'.
Om A te projecteren, moet er een loodlijn vanuit A naar vlak BCD komen en die loodlijn gaat precies door het zwaartepunt van driehoek BCD
In feite herhaalt zich hier de situatie van het punt D en vlak ABC (vorige vraag) zich hier. Je hoeft dan ook niet heel veel rekenwerk te verzetten.

Het invoeren van coördinaten is bij ingewikkelde situaties wel eens nodig, maar bij een relatief eenvoudig lichaam als het regelmatige viervlak heb je zó veel gemak van de gelijkzijdige drieehoeken, dat het hier onnodig is.

MBL

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 29 september 2008

Re: Berekenen van hoeken tussen vlakken van een regelmatig viervlak