WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lineaire combinaties

Bewijs: als l₁,l₂,l₃ de eigenwaarden van A, dan is det A = l₁*l₂*l₃.

Kan iemand mij aub helpen om dit te bewijzen? Ik heb geen idee...

Alvast bedankt!
Brent
3de graad ASO - maandag 16 juni 2008

Antwoord

Onder vrij algemene voorwaarden kan je A diagonaliseren:

A = P*D*P^(-1)

En volgens een eigenschap van determinanten:

det(A) = det(P)det(D)det(P^(-1))

D is een diagonaalmatrix met de eigenwaarden op de diagonaal, dus met determinant hun produkt. De andere determinanten zijn elkaars omgekeerde.

Een elegantere redenering maakt gebruik van de karakteristieke veelterm det(lI-A). Die is voor l=0 gelijk aan det(-A)=(-1)^n.det(A). Anderzijds geeft l=0 stellen in een veelterm in l de constante term, en in veeltermvergelijkingen is de constante term (-1)^n keer het produkt van zijn oplossingen en dat zijn precies de eigenwaarden.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 16 juni 2008