WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vierdegraadsvergelijking oplossen doormiddel van de factorstelling

Hallo,
Voor ons PO Wiskunde VWO 4 moeten ik een eigen onderzoek doen. Voor mijn eigen onderzoek moet ik een vierdegraadsvergelijking (welke ik zelf moet bedenken) oplossen met behulp van de factorstelling.

Nu heb ik al het een en ander hier rondgesurfd en ook al enkele links gevonden. Helaas hielpen deze me niet met het oplossen van mijn allereerste vraag:

Hoe kom ik aan het eerste nulpunt, zonder een GR te gebruiken?

Want zodra je het eerste nulpunt heb gevonden is het niet zo lastig meer. Je kunt dan de overgebleven 3de graadvergelijking oplosssen doormiddel van de formule van Cardano. Je krijgt dan een tweede oplossing en een tweedegraadsvergelijking welke op te lossen is doormiddel van de abc-formule.

Kortom hoe kom ik aan het eerste nulpunt bij een vierdegraadvergelijking?

PS
Ik heb nog geen vergelijking. Deze mogen we zelf "verzinnen". Nu kan ik het mezelf erg makkelijk maken door een vergelijking te maken zonder een los getal (een getal zonder x dus). Dit wil ik liever NIET doen omdat het me vrijwel zeker punten gaat kosten. Ik zou dus eigenlijk ook nog een vergelijking (het liefst met 4 reële nulpunten).
Luuk
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 21 mei 2008

Antwoord

Je kunt, lijkt me, het best eerst op kladpapier een vergelijking nemen waarvan je een aantal oplossingen kent, anders kun je voor allerlei vervelende verrassingen komen.

Bijvoorbeeld:
(x-2)(x+3)(x²+6x+7)=0
(Je weet nu dus al dat x=2 en x=-3 oplossingen zijn)

Je gaat dan de haakjes wegwerken:

(x²+x-6)(x²+6x+7)=0
x⁴+6x³+7x²+x³+6x²+7x-6x²-36x-42=0
x⁴+7x³+7x²-29x-42=0
Je hebt nu een indrukwekkende vierdegraads vergelijking, waarvan je zeker weet dat er twee gehele getallen oplossing zijn.

Laten we nu even vergeten wat die twee oplossingen zijn.
Stap 1: de eerste oplossing vinden, dus proberen de vergelijking te schrijven in vorm (x-a)(x³+bx²+cx+d)

Als je hievan de haakjes wegwerkt krijg je zoiets als x⁴+..x³+..x²+..x-ad.

Je ziet dus dat het eerste nulpunt een deler moet zijn van ±ad. In ons geval dus een deler van ±42.
Je gaat systematisch alle delers van ±42 af en controleeert door invullen of soms een van die getallen oplossing is van je vergelijking, net zolang tot je er een gevonden hebt.

Die delers zijn ±1,±2,±3,±6,±7,±14,±21 en ±42.

Je zult dan bijvoorbeeld vinden: x=2 is een oplossing:
2⁴+7·2³+7·2²-29·2-42=16+56+28-58-42=0
(Je had ook x=-3 als eerste oplossing kunnen vinden).

Stap 2: breng de gevonden factor buiten haakjes (kennelijk ken je die stap al, dus dat laten we hier maar achterwege.)

Het klinkt misschien flauw om het zo aan te pakken, maar als je zomaar begint een vergelijking op te schrijven loop je groot risico dat geen enkele van je oplossingen geheel is en dan wordt het zoeken nogal lastig, zo niet ondoenlijk. De hele methode is er eigenlijk op gebasserd dat tenminste 1 oplossing door 'slim proberen' is te vinden. Hoe dat 'slim proberen' in zijn werk gaat heb ik je proberen uit te leggen.

Kortom: zorg er eerst voor dat je een vergelijking met tenminste 1 gehele oplossing construeert op de manier die ik je heb laten zien. Misschien heb je nu ook een beetje door hoe leraren op proefwerken kunnen zorgen dat vergelijkingen oplossingen hebben die een beetje leuk uitkomen.

P.S. Het is misschien wel raadzaam nu zelf een vergelijking op mijn manier te maken. Je weet maar nooit of je leraar ook op Wisfaq rondkijkt...Bovendien leer je daar goed haakjes van uitwerken....

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 21 mei 2008