WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Vier punten op een zijde van een tetraëder

Dit is een reactie op vraag 5512

Hallo,
In het antwoord was de vraag beantwoord:
Bepalen in een 3D ruimte of een punt in een VLAK van een tetraeder ligt.
Mijn vraag was echter:
Bepalen in een 3D ruimte of een punt in een ZIJDE van een tetraeder ligt. Dus binnen de drie hoek punten

Mijn excuses als ik de vraag onduidelijk geformuleerd had.
Kunt uer aub nog eens naar kijken?
Frank
Student hbo - maandag 25 november 2002

Antwoord

Hoi,

Er was in Bepalen in een 3D ruimte of een punt in een zijde van een tetraeder ligt. inderdaad een misverstand in het spel...

Voor de duidelijkheid:
Je hebt dus 4 punten p₁, p₂, p₃ en p₄ die niet in een vlak liggen en een tetraëder vormen. Je hebt verder een willekeurig p waarvan je wil weten of het binnen een zijvlak van het tetraëder ligt.

Eerst moet je bepalen of p wel in één van de vier vlakken ligt die bepaald worden door 3 punten van het tetraëder. Hiervoor kan je bovenstaand antwoord gebruiken.

Als p in geen vlak ligt, dan ligt het duidelijk ook niet in een zijvlak.
Als p in precies twee vlakken ligt, dan ligt het op een ribbe van het tetraëder.
Als p in precies drie vlakken ligt, dan valt p samen met een hoekpunt van het tetraëder.
Als p met precies één vlak samenvalt, dan is het interessant. Je vraag wordt dan: hoe bepaal ik in 2D of een punt binnen in een driehoek abc ligt.

p ligt binnen abc als a en p aan dezelfde kan liggen van bc en als p en b aan dezelfde kant van ac liggen en als p en c aan dezelfde kan van ab liggen. We trekken de drie rechten door p en de punten a, b en c. ap snijdt bc in a', bp snijdt ac in b' en cp snijdt ab in c' (als de rechten evenwijdig zouden zijn, dan moet p buiten de driehoek liggen. De punten a', b' en c' bestaan dus zeker).
De deelverhouding van p tov a'a is gedefinieerd als (a'ap)=a'p/a'a (vectorieel - kan dus <0 zijn). p ligt aan dezelfde kant van bc als 0(a'ap)1.
p ligt dus binnen driehoek abc als 0(a'ap)1 en 0(b'bp)1 en 0(c'cp)1.

(Je kan dit makkelijk uitbreiden tot criteria om te bepalen of p binnen in de ruimte omsloten door een tetraëder ligt)

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 25 november 2002