WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Voetbaltraining

Hey, ik heb een leuk vraagstukje ontdekt, maar ik heb geen flauw idee hoe ik het moet oplossen. Hier is het:

Een voetbalcoach in Brugge heeft de gewoonte om op het einde van iedere training met zijn spelers een trainingspartijtje op te zetten tussen twee teams van gelijke sterkte. Om dat te bewerkstelligen heeft hij iedere speler een shirtnummer gegeven zodanig dat, hoe hoger het shirtnummer, des te talentvoller de speler is. Om ons onbekende redenen gebruikt de coach alleen de getallen 1 tot en met 14 als shirtnummers. Aan het einde van de training stelt hij twee teams samen, zodanig dat de som van de shirtnummers van elk team precies gelijk is. Die twee teams mogen best uit verschillende aantallen spelers bestaan en niet alle spelers hoeven opgesteld te worden.

(a): Door interlandverplichtingen waren er op een gegeven moment slechts 5 spelers aanwezig. De coach was niet in staat twee teams samen te stellen zoals hierboven aangegeven? Ga na welke shirtnummers de spelers kunnen hebben gehad.

(b): In zijn lange loopbaan als voetbalcoach was hij er steeds in geslaagd om twee teams samen te stellen zoals beschreven, op voorwaarde dat er tenminste 6 spelers aanwezig waren uit wie hij kon
kiezen. Toon aan dat dit geen kwestie was van geluk.

Kan iemand mij een tip of een hint geven?

Alvast bedankt,
Jeroen
3de graad ASO - zaterdag 12 april 2008

Antwoord

Dag Jeroen,

Voor vraag a): ik heb het eens geprogrammeerd, en blijkt dat er 14 mogelijke combinaties zijn. Als het de bedoeling is dat je zelf zonder pc-hulp zo een combinatie vindt, zou ik aanraden eens van bovenaf te beginnen tellen: als die 5 spelers vooral lage shirtnummers hebben dan kan je meestal makkelijk aan twee gelijke sommen komen. Bij hogere shirtnummers ligt dat moeilijker.

Dus probeer eens: wat als 14, 13, 12 en 11 er zijn? Nee, want dan 14+11=12+13. Misschien met 14,13,12,10? Daarmee kan je al geen gelijke sommen maken, we hebben dus nog een 5de getal nodig. 9? Nee want 9+13=10+12... Maar als je nog wat verder gaat kijken zal je er wel één vinden :-)

b) is wiskundig gezien een veel leukere vraag: je moet bewijzen dat als je 6 verschillende getallen neemt uit de verzameling {1,2,...,14}, dat je dan altijd gelijke sommen kan maken.

Nu, als je sommen bekijkt die bestaan uit 1 term (dus ploegjes met één speler), dan kan je duidelijk 14 uitkomsten krijgen (namelijk de getallen van 1 tot 14). Sommen bestaande uit twee termen dan, wat is de laagste uitkomst die je kan krijgen? Juist, 1+2=3. En de hoogste is 13+14=27. Sommen bestaande uit 3 termen? De laagst mogelijke uitkomst is dan 1+2+3=6, de hoogste is 12+13+14=39.

Dus van eender welke som van 1, 2 of 3 getallen uit je verzameling van 6, ligt de uitkomst tussen 1 en 39 (grenzen inbegrepen). Dat zijn 39 verschillende uitkomsten. Maar tel nu eens zelf hoeveel zulke sommen je kan maken (dus op hoeveel manieren kan je 1 getal kiezen uit je 6, op hoeveel manieren 2 uit 6, op hoeveel manieren 3 uit 6). Als dit resultaat groter is dan die 39, kan je besluiten dat niet elke som een verschillend resultaat kan opleveren! Dus dat er twee sommen zijn, bestaande uit verschillende termen, die toch hetzelfde resultaat hebben.

Oja, het zou dan kunnen dat een term (=speler) in beide sommen (=ploegen) voorkomt (wat in de voetbalcontext natuurlijk niet mag), dan kan je die in beide sommen schrappen. Aangezien we weten dat de sommen uit verschillende termen bestaan, zullen er in beide ploegen spelers overblijven, en de som van de shirtnummers zal nog steeds gelijk zijn.

De bewijsmethode in b) noemt men het duivenhokprincipe, het komt erop neer dat als je meer duiven hebt dan hokken, er minstens één hok moet zijn waarin meer dan één duif zit...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 12 april 2008