WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoek en afstand berekenen in een regelmatige vierzijdige piramide

De opgave:
Van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD is AB =
4Ö2 en AT = 8. M is het midden van TC en N is het midden van AT.
a. Bereken cos hoek (AT,DC).
b. Bereken hoek (AT,BD).
c. Bereken de afstand tussen DN en BM.

Mijn werk:
a.
cos hoek (AT,DC)= cos (AT,AB)
a²=b²+c²-2bc cosa
8²=8²+ (4Ö2)²- 2´8´4Ö2 cosa
cosa= Ö2 / 4.
Correct?
b.
R = (DBÇAC)
hoek (AT,BD)= hoek (RB,RM)
Hoe nu verder?
c.
Q = TB Ç lijn door M evenw. aan BC
Vlak DCQN staat loodrecht op MB
V = MB Ç QC
W = ND Ç lijn door V evenw. aan DC
WV is kortste verbindingsstuk
Hoe nu verder?

Alvast bedankt voor de hulp!
Groeten Tjen
Tjen
Student hbo - zaterdag 23 februari 2008

Antwoord

Beste Tjen,

a)Je antwoord is correct, maar kan wel eenvoudiger worden berekend:
Bekijk DABT. AT=BT=8 en ¹/₂AB=2Ö2, dus
cos ÐBAT=2Ö(2)/8=¹/₄Ö2.

b) DBMD is gelijkbenig: BM=DM, dus....ÐBRM=...
Je zou ook kunnen gebruiken dat als een lijn loodrecht op een vlak staat, dan staat hij loodrecht op alle lijnen in dat vlak.
Nu zie je waarschijlijk wel dat BD loodrecht staat op vlak ATC, dus ook op AT.

c)Waarom dacht je dat MB loodrecht staat op vlak DCQN? Dan zou CQ ook loodrecht moeten staan op BM.
Je kan vlak BCT tekenen met daarin Q, M en BM en CQ. Dan kan je berekenen dat dat niet klopt.

ALs je een afstand tussen twee kruisende lijnen moet berekenen, dan teken je een vlak door de ene lijn, evenwijdig aan de andere lijn.
Dat is in dit geval een vlak loodrecht op het grondvlak ABCD.
Trek maar een lijn door N, loodrecht op het grondvak.
Het snijpunt noem ik N'.
Ook een lijn door M loodrecht op ABCD, met snijpunt M'.
DN' en BM' zijn evenwijdig. (Waarom?)
Dan zijn de vlakken DNN' en BMM' evenwijdig en loodrecht op ABCD.
De gevraagde afstand kan je vinden in het grondvlak, loodrecht op DN' (en BM')
Zou het dan lukken?
Succes, Lieke.

ldr

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 25 februari 2008

Re: Hoek en afstand berekenen in een regelmatige vierzijdige piramide