WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren

Beste wisfaq,

Het is een tijd geleden dat ik integreren heb gedaan en nog langer dat ik het toegepast heb....en voordat ik in de theorie verdwaald wil ik een setje in de juiste richting krijgen…
Ik heb een voorbeeld in het boek en deze luidt:
Een klein voorwerp wordt naar beneden afgevuurd met een beginsnelheid van 60m/s in een vloeibaar medium. Het voorwerp ondervindt een vertraging die gelijk is aan
a=-0,4v³ waarbij v de snelheid is in m/s

Ik moet bepalen de snelheid en de plaats van het projectiel na 4 seconden.

Nou weet ik dat:
Als ik de versnelling (a) integreer, dat ik dan de snelheid (v) krijg.
En als ik de snelheid integreer, dan krijg ik de afgelegde weg (s)
Dus met steeds integreren krijg ik a ®v® s
En met differentiëren kan ik terug gaan s ®v ®a

a=dv/dt=-0,4v³

ò dv/(-0.4v³)= òdt

Ik weet niet wat men vssr het integraal teken doet om dit te krijgen:
(1/-0.48)· (1/-2)·(1/v^ 2)| =t (-0)

denk dat om de rest van de vraag te kunnen doen, ik eerst het integreren van de vergelijking onder de knie moet hebben...
Kunt u mij vertellen hoe deze integraal tot stand komt?

Alvast bedankt!
Carlos
carlos
Student universiteit - donderdag 8 november 2007

Antwoord

Dit is geen opgave om integreren op te halen.
Dit is een differentiaal vergelijking:

^dv/_dt=-0,4v(t)^3
Oplossen:
Zoek oplossing in de vorm: v(t)=A (t+C)^B met A, B, C reele getallen
dan is ^dv/_dt=A.B (t+C)^B-1
Uit de differentiaal vergelijking volgt dan:
A.B (t+C)^B-1 = -0,4 (A (t+C)^B)^3
A.B (t+C)^B-1 = -0,4.A^3 (t+C)^3.B
Hieruit volgt:
* expontent van t moeten aan elkaar gelijk zijn: B-1=3B
* waarde voor de t-amcht moeten gelijk zijn: A.B = -0,4.A^3
* Geen beperking voor C. Deze kan bepaald worden uit v(t=0)= 60 m/s
Oplossing: B= -¹/₂, A= Ö0,8
Oplossing is:
v(t)=Ö0,8 (t+C)^-1/2=Ö(^0,8/_(t+C))
Om s(t) te vinden dient deze vergelijking naar t geintegreerd te worden.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 8 november 2007