WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Maximum en minimum oppervlakte

Hallo Wisfaq,

Ik heb volgend probleem.
Omtrek rechthoek is 20 cm.
Als de oppervlakte van de rechtheok maximaal is dan is de som van de oppervlakten van de halve cirkels ,op de zijden van de rechthoek uitgezet, minimaal.Toon dit aan

IK deed als volgt:
2x+2y=20
x+y=10
y=10-x
Oppervlakte rechtheok:
f(x)=x(10-x)
f(x)=-x²+10x
-b/2a= -10/(2(-1))=5 .De rechthoek is een vierkant met zijde 5 en de oppervlakte is 25 cm²
Zet ik nu halve cirkes uit op dit vierkant dan heb ik een straal van r=5/2 cm en de oppervlakte van de 2 cirkels is dan :
Oppervlakte 4 halve cirkels( of 2 ganse cirkels) met straal 5/2:
2$\pi$·(5/2)²
= 50$\pi$/4
: 25$\pi$/2
Maar hoe komt men dan tot de vraag de som van de oppervalkten van deze halve cirkels minimaal moet zijn.
Wat ik dus uitkom dat de oppervlakte van de 4 halve cirkels gelijk is aan de helft van die van de rechthoek( op $\pi$ na natuurlijk.
Maar is dit een bewijs dat de oppervlakte van de 4 halve cirkels minimaal is ?
Groeten

Rik Le
Ouder - vrijdag 2 november 2007

Antwoord

Het gevraagde heb jij inderdaad niet bewezen. Je zou nu in principe ook het extremumprobleem van de cirkels moeten oplossen en zien dat de x-waarde die voor de rechthoek een maximum geeft, voor de cirkels een minimum geeft.

Maar om de stelling te bewijzen hoef je de oefening niet eens echt op te lossen:

Een rechthoek met zijden a en b heeft als oppervlakte ab, en als oppervlakte van de halve cirkels (of om het even welke andere gelijkvormige figuren) iets dat evenredig is met a²+b². Aangezien de omtrek constant is, is a+b constant. Als je vervolgens denkt aan de identiteit (a+b)² = a²+b² + 2ab, volgt er (C1 en C2 positieve constanten)

(som oppervlakken op zijden) = C1 - (oppervlakte rechthoek).C2

Als de oppervlakte van de rechthoek dus maximaal is, wordt de som van de oppervlakten op de zijden minimaal).

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 2 november 2007