WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Betekenisloos, onbeslisbaar

hallo,

Kan iemand mij uitleggen wat 'onbeslisbaar' en 'betekenisloos' betekenen?
Lobke
Student hbo - woensdag 24 oktober 2007

Antwoord

Beste Lobke,
Ik denk dat je de normale betekenis van de woorden "onbeslisbaar" en "betekenisloos" wel kent.
In de wiskunde, of in de logica, worden ze gebruikt in formele systemen.
Een formeel systeem bevat een aantal axioma's (regels) waaruit stellingen zijn te bewijzen. Het idee van Hilbert was om een formeel systeem te ontwerpen bestaande uit reeksen tekens met deductieregels regels. Je begint met een aantal reeksen. Dat zijn axioma's.
ALs je uit een bestaande reeks tekens volgens de teogestane regels een nieuwe reeks tekens kan afleiden is die nieuwe reeks een stelling.
De reeksen hebben geen enkele betekenis: betekenisloos.
Een uitspraak of bewering is dan een tekenreeks. Als je die tekenreeks kan afleiden is hij bewijsbaar.
Hij wilde een wiskundig systeem, b.v. de getallen met onze rekenregels, laten corresponderen met zo'n formeel systeem, om op die manier de gehele wiskunde als een formeel systeem te beschrijven.

Gödel bewees echter dat elk consistent formeel systeem (=een systeem waarmee geen onware beweringen te bewijzen zijn) dat krachtig genoeg is om alle ware uitspraken te bevatten (volledigheids principe) altijd onbeslisbare uitspraken bevat. Bovendien kan een formeelsysteem nooit zijn eigen consistentie bewijzen.

Een onbeslisbare uitspraak is een uitspraak waarvan je zowel kan aantonen dat hij bewijsbaar is (dus waar) als dat hij niet te bewijzen is (niet waar).
Een voorbeeld is de bekende leugenparadox: "Deze zin is niet waar".

Je zou ook het mooie boek "Gödel, Escher en Bach" van Hofstatter kunnen lezen!

ldr

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 29 oktober 2007