WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Negenproef

ik heb de negen proef nu helemaal onder de knie, maar ik zit nog met 1 vraagje.....

ik weet nu dat de negenproef werk maar ik snap niet hoe dit kan! ik snap gewoon niet hoe het mogelijk is dat als je alles door rekenen dat je dan op de rest uit komt. zou u me hiermee kunnen helpen?

mvg W
W
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 23 oktober 2007

Antwoord

Beste Wouter,
Deze vraag is aleens eerder gesteld! Zie:
De negenproef

Voor een bewijs zie ook:
http://mathworld.wolfram.com/CastingOutNines.html

Het bewijs gebruikt modulo rekenen, of ook wel restrekenen of klokrekenen.
Een getal modulo 9=rest na deling door 9.

Stel ik heb een getal x, dat na deling door 9 een rest r_x oplevert.
Dan geldt: x=9·n_x+r_x
Een ander getal y=9·n_y+r_y
Dan geldt: x·y=9·9·n_x·n_y+9·(r_x+r_y)+r_x·r_y
Bekijken we nu de rest van deze uitkomst na deling door 9, dan krijg je: r_x·r_y.
Dus blijkt:x·y(mod 9)=x(mod 9)·y(mod 9).
Dat zelfde kan je ook bewijzen voor x+y of x-y.

Met negenproef doe je niets anders dan controleren of bovengenoemde stelling klopt. Als het niet klopt is er iets fout gegaan met je berekening.
Klopt het wel, dan is dat natuurlijk geen garantie dat je opgave goed is!

Maar hoe reken je snel modulo 9?

10 modulo 9=1
100 modulo 9=1
1000 modulo 9=1
enz.

30=3·10, dus 30 modulo 9=3
500=5·100, dus 500 modulo 9=5
530=500+30, dus 530 modulo 9=5+3=8

Zo blijkt dus elk getal modulo 9 gelijk te zijn aan de som van de cijfers .
Als die som groter is dan 9 kan je er weer 9 of een veelvoud van 9 aftrekken.

ldr

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 24 oktober 2007