WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Convergentie

Dit is een reactie op vraag 52591

Hallo Wisfaq,

Het lukt me nog steeds niet om het in mijn geval te bewijzen. Inderdaad zie ik wel dat het correct is in het bovenstaande voorbeeld maar ik kan dit niet direct toepassen op mijn geval. Ik beschrijf dit hieronder in wat meer detail en ook de stappen dit ik tot nu toe heb gemaakt om dit probleem op te lossen

Ik beschouw op dit moment een oneindige kettingbreuk
c=[a_0; a_1, ... , a_n, ...]. Welnu, als we c_k schrijven als p_k/q_k waar p_k en q_k positieve gehele getallen zijn met geen gemeenschappelijke factoren dan geldt er het volgende:

p_k = a_k*p_(k-1) + p_(k-2)
q_k = a_k*q_(k-1) + q_(k-2) k 2

Ik heb tot dusver bewezen dat:

1) als c = [a_0; a_1, ..., a_n, ...] een oneindige kettingbreuk is met a_n 1 voor alle n, dan geldt that q_k k (dit heb ik bewezen met inductie). Er volgt hieruit dat q_k een stijgende reeks is die naar + oneindig divergeert.

2) Ik heb afgeleid/bewezen dat
[p_(k-1)/q_(k-1)] - [p_k/q_k] = (-1)^k/[q_kq_(k-1)]
voor alle k 2

3) [p_(k-2)/q_(k-2)] - [p_k/q_k] = [(-1)^(k-1)*a_k]/[q_kq_
(k-2)] voor k 2

4) Ik heb afgeleid dat c_(2k) = p_(2k)/q_(2k) monotoon stijgend is en van boven gebonden door c_1. Verder heb ik aangetoond dat c_(2k-1) = p_(2k-1)/q_(2k-1) monotoon dalend is en van onder gebonden door c_0.

Nu volgt dus het probleem waar ik niet uit kom: ik wil bewijzen dat c_(2k) naar een reel getal c- en c_(2k-1) naar een reeel getal c+ convergeert en dat bovendien geldt dat c- c+

Zoals eerder uitgelegd lukt het me wel om de eerste twee dingen te bewijzen maar niet het laatste. Mijn poging om dit te bewijzen strandt nu als volgt:

Ik ga uit van (3) en schrijf dit expliciet als formule voor p_k/q_k. Daarna substitueer ik voor 2k in de plaats van k en krijg dan

p_(2k_/q_(2k) = c_(2k) = c_(2k-1) - 1/[q_(2k)q_(2k-1)]

Wat hieruit dus volgt is dat c_(2k) c_(2k-1) en dus volgt er ook dat c- c+. Ik krijg dus wel maar niet want dat 1/[q_(2k)q_(2k-1)] is natuurlijk nooit gelijk aan 0. Het gaat natuurlijk wel naar 0 in de limiet en dus kan ik daarom ook wel redeneren dat c- c+ is maar dit is natuurlijk niet echt formeel.

Ik hoop dat jullie me hier mee verder kunnen helpen,

Vriendeijke groet,

Pieter

Pieter
Student hbo - dinsdag 23 oktober 2007

Antwoord

Je probleem zit in deze zin: Wat hieruit dus volgt is dat c_(2k) c_(2k-1) en dus volgt er ook dat c- c+. Denk aan de rij (-1)ⁿ⁺¹/n: de even termen zijn negatief en convergeren naar 0; de oneven termen zijn positief en convergeren naar 0. Dit is een voorbeeld met c_2kc_2k-1 maar met c^-=0=c⁺. Overigens ab betekent `a kleiner dan of gelijk aan b'; dus uit ab volgt gewoon ab.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 31 oktober 2007