WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oneindige kettingbreuken

c_k = p_k / q_k waar p_k en q_k positieve gehele getalen zijn met geen gemeenschappelijke
factoren. Dan:

p_k = a_k·p_k-1 + p_k-2
q_k = a_k·q_k-1 + q_k-2 ; k groter dan of gelijk aan 2

TE BEWIJZEN:
Als c = [a₀; a₁, ... , a_n , ...] een oneindige kettingbreuk is met a_n groter dan of gelijk aan 1 (voor alle n), dan is q_k groter dan of gelijk aan k
(en volgt dat q_k divergeert naar + oneindig.

BEWIJS:
Uit het gegeven is op te merken dat q_k minimaal is voor a_n = 1. In dat geval hebben we:

q_k = q_k-1 + q_k-2

Deze verschil vergelijking lossen we op door een oplossing q_k =A^k te proberen waarbij A een constante is die nader bepaalt moet worden:

A^k = A^k-1 + A^(k-2)

wat te vereenvoudigen is tot

1 = 1/A + 1/A² Þ A² - A - 1 = 0

Er volgt dat A₁ = (1 + Ö 5)/2 of A₂ = (1-Ö 5)/2

Er volgt dat de algemene oplossing is:

q_k = B₁·(A₁)^k + B₂·(A₂)^k

Verder weten we dat q₀ = a₀ en q₁ = a₀ + 1/a₁ = (a₀·a₁+1)/a₁

Dus hebben we de vergelijkingen

q₀ = a₀ = B₁ + B₂
q₁ = (a₀·a₁+1)/a₁ = B₁ · A₁ + B₂ · A₂

Dit oplossen geeft:

A₁ = a₀ - ((a₀a₁+1_/a₁)-B₁a₀)/(B₂-B₁))
A₂ = (a₀a₁+1_/a₁)-B₁a₀)/(B₂-B₁)

En nu zit ik vast. Ik wilde aantonen dat q_k exponentieel toeneemt met k en dat er dan volgt er dat q_k is groter dan gelijk aan k echter
van de expressies van A₁ en A₂ volgt niet dat deze per se groter zullen zijn dan 1 end at q_k dus steeds groter word. Sowieso heb ik ook niet echt
het idee dat ik iets rigoreus aan het bewijzen ben ...

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen

vriendelijke groet
Herman
Student universiteit - dinsdag 16 oktober 2007

Antwoord

Je minimale q's vormen een rij die aan de Fibonacci-recursie voldoet; als je ook nog zo klein mogelijk begint: q₀=1 en q₁=1 dan krijg je de Fibonacci-rij en die voldoet aan q_kk voor alle k. Verder is |A₂|1 en A₁1, dus de q_k gaat lijken op (A₁)^k en dat geeft exponentiele groei

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 oktober 2007

Re: Oneindige kettingbreuken