WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Waarom substitueren?

Hallo,

Een boer wil aan een kanaal een rechthoekig land omheinen van een bepaalde grootte, A oppervlakte-eenheden.
Welke afmetingen moet hij de rechthoek geven, opdat de omheining zo klein mogelijk is. Langs het kanaal is geen afrastering.

Ik begreep al hoe dit vraagstuk moest worden opgelost. Ik wisat al dat de omheining gelijk was aan 2L+B. En dat de oppervlakte A (B=A/L) gesubstitueerd dient te worden in de vergelijking 2·L+B. Vraag 1: Maar waarom moet de oppervlakte erbij betrokken worden?

Vraag 2: Als ik alleen wist dat 2·L + B = omheining en dat ik niet wist dat ik ook A = L·B erbij moest betrekken, ben ik dan per definitie een slechte HBO-er op wiskundegebied of weten meerdere mensen niet hoe ze dit moeten aanpakken?
Of ben ik de enige? Ik schaam me er een beetje voor.
Hugo F
Student hbo - zondag 14 oktober 2007

Antwoord

(Veronderstel dat L en B niet negatief mogen zijn)

Als je de oppervlakte niet in de oplossing betrekt, wordt het vraagstuk een beetje te eenvoudig. Want dan wordt de vraag: baken met zo weinig mogelijk omheining een oppervlakte (naar keuze!) af.

Stel je een machine voor met twee regelknopjes, eentje voor L en eentje voor B, waarbij op een scherm de waarde van 2L+B verschijnt. Jouw taak is het 2L+B zo klein mogelijk te maken door aan de knopjes te draaien.

Als er nergens sprake is van een verband tussen L en B (hier: de oppervlakte A=L.B) en er is al een waarde voor L ingesteld, kan ik B gewoon op 0 zetten om 2L+B te minimaliseren, want mijn gepruts aan B verandert L niet. En waarom zou ik daarna niet gewoon ook L op 0 zetten, aangezien dat B, die al op 0 staat, niet zal veranderen.

De opgave zegt nu echter dat B en L niet zomaar los van elkaar te regelen zijn. Wanneer je aan het ene knopje draait, draait automatisch ook het andere. Het verband is gegeven door B.L = A. Als je de ene verhoogt, verkleint de andere, want het produkt moet constant blijven (=A).

Door nu B=L/A of A=L/B te stellen wordt je formule er een die maar één variabele meer bevat: je negeert het bestaan van een van de regelknopjes, omdat de stand ervan toch automatisch volgt uit de stand van het andere, dat wel nog in je formule zit. Stel je eens voor dat je daadwerkelijk aan zo een machine staat: dat is toch wat je in het echte leven ook zou doen? Je vereenvoudigt een probleem dat schijnbaar afhangt van 2 veranderlijken er een dat afhangt van 1 veranderlijke.

Voor die substitutie heb je twee mogelijkheden

1) 2L+B - 2A/B + B

of

2) 2L+B - 2L + A/L

Welk knopje je nog wenst te gebruiken en welk je negeert is volledig je eigen keuze. Je zal exact dezelfde oplossing uitkomen of je L vervangt door iets met B in (1) of B vervangt door iets met L in (2). Probeer het!

En ja hoor, je bent echt de enige ;-) Nee, wiskunde studeren gaat voor het grootste gedeelte niet over het zelf vinden van oplossingstechnieken, je moet vooral leren uit aangereikte oplossingen. Je kan onmogelijk een nieuw wiskundetopic snappen zonder voorbeeld.

PS: Er zijn zeker ook minimaliseringsvraagstukken te bedenken met meerdere veranderlijken, waarbij GEEN extra verbanden tussen de veranderlijken zijn opgegeven en die TOCH zinvol en oplosbaar zijn, maar dat is een topic in de meerdimensionale analyse.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 14 oktober 2007