WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Verwachtingswaarde aantal keer gooien

Beste Wisfaq, ik zit met het volgende probleem:

Een oneerlijke munt, met P(kop)=p en P(munt)=q=1-p wordt herhaaldelijk geworpen totdat tenminste 1 kop en 1 munt zijn verkregen. Vind de verwachtingswaarde van het aantal keer gooien.

Mijn probleem is dat ik twee verschillende verwachtingswaarden krijg en wel als volgt:

De eerste worp kan nooit Kop en munt geven. De eerste worp is of kop of munt. Er zijn 2 gevallen te onderscheiden

De eerste worp is Kop

Succes is nu gedefinieerd als het gooien van munt.
Laat s de kans op succes zijn, dan hebben we dat s=1-p en, als f de kans op mislukking is, f = p. Laat X het aantal benodigde worpen zijn. Dan hebben we:

P(X=k)=sf^k = (1-p)p^k

X heeft een geometrische verdeling. De verwachtingswaarde voor X is dus:

E(X) = 1/s + 1 (vanwege het feit dat de eerst worp altijd nodig is) = 1/(1-p) + 1

Nu het tweede geval:

De eerst worp is Munt

Op dezelfde manier als hierboven maar nu met s = p en f = 1-p vinden we dat

P(X=k) = sf^k = p(1-p)^k

en E(X)=1/s + 1 = 1/P + 1

Dus de twee verwachtingswaarden zijn niet gelijk ...

Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen,

Vriendelijke groet,

Herman
Herman
Student universiteit - woensdag 10 oktober 2007

Antwoord

Hallo Herman,

Dat ziet er goed uit. Merk op dat je eerste geval voorkomt met kans p, en je tweede geval met kans q. Voor het eerste geval heb je een verwachtingswaarde van 1 + 1/q, voor het tweede heb je 1 + 1/p. Vind je het dan niet logisch dat de verwachtingswaarde van het totaal wordt: p·(1+1/q)+q·(1+1/p)? Dat is eigenlijk niks anders dan wat je altijd doet bij het uitrekenen van verwachtingswaarden: de kans dat een waarde voorkomt, vermenigvuldigd met de waarde zelf, en dit gesommeerd over alle mogelijke waarden.

Je krijgt dan p+q+p/q+q/p=1+p/q+q/p. Dat is symmetrisch in p en q, dus dat is al goed. Bovendien, als p=1 en dus q=0 (of omgekeerd) krijg je oneindig, wat te verwachten is. En ook als p=q=1/2 dan komt het uit want dan is je verwachtingswaarde gelijk aan 3. En ook dat klopt: bij je eerste worp heb je zeker één van de twee, dus daarna moet de andere nog komen, die heeft kans ¹/₂ om voor te komen, dus de verwachtingswaarde voor het aantal keren dat je moet proberen om dit te gooien, is 1/¹/₂=2, 1+2=3 dus ook dat zit goed.

Ook geldt: hoe oneerlijker de munt (dus hoe groter het verschil tussen p en q), hoe hoger de verwachtingswaarde, dus weer volledig in overeenstemming met je intuïtie (hoop ik toch ). Een eerlijke munt geeft de laagste verwachtingswaarde.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 11 oktober 2007