WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oppervlakte vierhoek ABCD mbv sinus

A, B, C en D vormen een vierhoek op een cirkel. De punten liggen geen van allen op de middellijn van die cirkel. Hoe bereken ik de oppervlakte van de vierhoek ABCD uitgedrukt in sinus en/of cosinus.

Reactie

Ik bedoel eigenlijk:
ALs je vanuit het middelpunt van de eenheidscirkel met straal 1 een lijn trekt naar alle niet op de middellijn liggende punten van de vierhoek ABCD ontstaan er 4 driehoeken.
Ik ga er vanuit dat 2 hoeken van elk van die driehoeken congruent zijn. Als de waarden van de maximaal 4 verschillende hoeken x,y,z en t gegeven zijn , is er dan een algemene formule om de oppervlakte van een willekeurige vierhoek te berekenen.
Ik hoop dat het zo duidelijk is.

Herman
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 28 september 2007

Antwoord

Nog niet helemaal, maar ik kan je denk ik wel opweg helpen.
Noem het middelpunt even M.
Dan zijn ABM, BMC, CDM en DMA gelijkbenige driehoeken.
Neem nu bijvoorbeeld driehoek ABM.
De hoek bij A en de hoek bij B zijn gelijk.
Het makkelijkst is de hoek bij M even M₁ te noemen.
Dan is de oppervlakte van driehoek ABM gelijk aan ¹/₂*MA*MB*sin(ÐM1).
Omdat MA en MB beide 1 zijn wordt de oppervlakte van driehoek AMB dus ¹/₂sin(ÐM1).
Voor de overige 3 driehoeken kun je hetzelfde doen.
Dus stel de 4 hoeken bij M zijn M₁,M₂,M₃ en M₄, dan wordt de oppervlakte ¹/₂(sin(ÐM1)+sin(ÐM2)+sin(ÐM3+)sin(ÐM4).
Daarmee is het verhaal nog niet helemaal af, want ÐM₁+ÐM₂+ÐM₃+ÐM₄=360°, dus bijvoorbeeld
ÐM₄=360°-(ÐM₁+ÐM₂+ÐM₃).
Invullen in onze formule levert:
¹/₂(sin(ÐM₁)+sin(ÐM₂)+sin(ÐM₃)+sin(360°-(ÐM₁+ÐM₂+ÐM₃)))

Tenslotte, omdat sin(360°-k)=sin(-k)=-sin(k) krijgen we:
¹/₂(sin(ÐM₁)+sin(ÐM₂)+sin(ÐM₃)-sin(ÐM₁+ÐM₂+ÐM₃))

Heb je de hoeken bij M niet dan kun je deze eenvoudig eerst berekenen met behulp van de hoekensom van een driehoek.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 29 september 2007