WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Perforatie en asymptoten

Hallo,

ik snap niet goed wanneer je nou een perforatie hebt en wanneer een aymptoot. Wel weet ik dat bij een perforatie zowel de teller als de noemer 0 worden door het invullen van x, maar betekent dit dan dat het echt een perforatie moet zijn of kan het ook een asymptoot zijn?

De volgende sommen snap ik niet:

(1:g)(x)= 1: (√x+1)/(x-1)
er zou hier een perforatie zijn bij x=1, maar daar is toch niet zowel de teller als de noemer 0?

en deze snap ik ook niet:
(f:g)(x)= ((√x-1)/(x-1))/((√x+1)/(x-1))
er staat dat hier een perforatie is bij x=1, maar bij x=1 zijn toch ook niet de teller en noemer 0? en hier is ook een horizontale asymptoot bij y=1, zie je dat door te vereenvoudigen en dan een groot getal in te vullen voor x?

Alvast bedankt voor de hulp!

Groetjes,
Mélanie

Mélani
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 13 september 2007

Antwoord

Dag Mélanie,

a(x)=(√x+1)/(x-1) heeft inderdaad een asymptoot en geen perforatie.

b(x)=((√x-1)/(x-1))/((√x+1)/(x-1)) kun je op twee manieren aanpakken.
1) Er staat hier een breuk van twee breuken. Die kun je vereenvoudigen. Dan krijg je: (√x-1)/(√x+1). Nu zie je eenvoudig dat de grafiek van b(x) geen asymptoot heeft (noemer is niet nul).
2) Je kunt de redernatie ook ingewikkeld maken. De teller (√x-1)/(x-1) heeft een perforatie en blijft dus eindig. De noemer (√x+1)/(x-1) heeft een asymptoot, en wordt dus oneindig. In dat geval heeft de grafiek van b(x) een perforatie.

Maar, hoe zoek je dit nu uit? Niet door x=1 in te vullen, want dat mag niet. Wat wel mag is: getallen in de buurt van x=1 invullen: 0.9, 0.99, 0.999, etc. Ik heb het even voor je gedaan (met excel):

x a(x) b(x)
0 -1 -1,000
0,9 -19 -0,026
0,99 -199 -0,003
0,999 -1999 0,000
0,9999 -19999 0,000

Als de noemer nul wordt en de teller niet krijg je een asymptoot. Immers, als je dichter bij nul komt wordt de noemer steeds kleiner terwijl de teller nauwelijks nog verandert. De breuk wordt dus als maar groter, d.w.z. de grafiek schiet omhoog.

Als de teller ook nul wordt, wordt het interessant. Als je dan dichter bij nul komt wordt zowel de teller als de noemer als maar kleiner. Het is dus mogelijk dat de breuk niet groter wordt. Het hangt er maar vanaf welke sneller naar nul gaat, de teller of de noemer. De grafiek kan dus een perforatie hebben, maar dat is net zeker (in jouw gevallen is het wel zo)

Door niet x=1 te bekijken, maar wel getallen heel dicht in de buurt van x=1 ben je limieten aan het uitrekenen. Dat noteer je: x$\to$1. Als de bovenstaande redernatie steeds toepast kom je op het volgende lijstje:
noemer $\to$ g: gewone grafiek (geen perforatie en ook geen asymtoot)
noemer $\to$ 0 en teller $\to$ g: teller/noemer $\to$ $\infty$ (asymptoot)
noemer $\to$ 0 en teller $\to$ 0: verder onderzoek nodig.
en eventueel:
noemer $\to$ 0 en teller $\to$ $\infty$: teller/noemer $\to$ $\infty$ (asymptoot)
noemer $\to$ $\infty$ en teller $\to$ g: teller/noemer $\to$ 0 (perforatie)
noemer $\to$ $\infty$ en teller $\to$ 0: teller/noemer $\to$ 0 (perforatie)
noemer $\to$ $\infty$ en teller $\to$ $\infty$: verder onderzoek nodig.
(met g bedoel ik: een getal ongelijk aan nul)

Overigens denk ik dat er wel iets raars is met je opgave. Als de eerste 1:g is is de tweede (hoogstwaarschijnlijk) niet f:g.

Laat nog even weten of het zo duidelijk is? Groet. Oscar.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 september 2007

Re: Perforatie en asymptoten