WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Binominaal vergelijking van getal (z³=1)

Dit is een reactie op vraag 52003

Geachte Oscar,

Bedankt voor de DUIDELIJKE uitleg. Mijn nieuwsgierigheid plus enige speurwerk op het internet en literatuur heeft me min of meer gebracht tot het zelfde antwoord, namelijk de stelling van De Moivre...als ik deze toepas, dan kom ik er wel uit!
Wel is het zo dat ik de stelling alleen mag gebruiken als n ÎN,
Hoe moet je dan de gedaante Z^-4=x of Z^1/4 oplossen? ik weet niet of de vraag toedoet (ik weet niet of dit bestaat en of het op te lossen is).

Ik heb nu ook gekeken naar machtverheffen van complexe getallen. Het is mij duidelijk dat we hiervoor e-macht gebruiken om tot een makkelijke oplossing te komen. (over het getal e ben ik het een en al aan het herhalen omdat het een tijd geleden is). Uit het volgende vb kom ik echter niet uit.
e^iy·e^iw (=e^i(x+w)
de modulus van e^iy · e^iw =1 (dit is wel duidelijk)

Het argument wordt als volg berekend:
a) arg (e^iy · e^iw)= arg(e^iy) + arg(e^iw) + 2pk
b) y+2pl + w+2pm + 2pk
c) y+w+2p(l+m+k)

Ik zie niet hoe arg(e^iy)®y+2pl en
arg(e^iw)®w+2pm {dit is eigenlijk stap a) naar b)}

als antwoordt wordt gegeven:
e^iy·e^iw =1{cosy+w)+isin(y+w)}

hm... hoop niet dat ik te langdradig ben geweest

mvg,

Carlos
carlos
Student universiteit - maandag 10 september 2007

Antwoord

Hoi Carlos,

Leuk van je te horen. Je bent duidelijk een stuk op weg. Kijken of ik je nog een stukje verder kan helpen... Eerst wat vertellen dus. Maar, maak je geen zorgen. Ik kom terug op je vragen.

Zoals je gemerkt hebt moet je voorzichtig zijn als je rekent met machten. Je moet het stapje voor stapje opbouwen en kijken welke regels je onder welke voorwaarden kunt gebruiken. Gelukkig hoef je dat niet allemaal zelf te bewijzen. Misschien is nog wel het leukste dat je hiervan kunt leren dat dit ook geldt voor de reeele getallen. xⁿ definieer je gewoon met behulp van vermenigvuldigen. Vervolgens definieer je x^-n als x^-n = 1/x^-n. En tenslotte x^1/q als "de" oplossing van u^q = x en x^p/q = (x^1/q)^p. Dit alles probeer je zo te doen dat je de regenregels x^a+b=x^ax^b en x^ab=(x^a)^b kunt blijven gebruiken.

Met de complexe getallen moet je dat allemaal nog eens over doen. zⁿ is geen probleem. Dat heb je al gezien. z^-n ook niet. 1/z is overigens een belangrijke complexe functie. Maar bij z^1/p heb je wel een probleem omdat de vergelijking u^p = z meerdere (om precies te zijn p) oplossingen heeft. Kijk je nog eens goed, dan zie je dat dat bij de reeele getallen ook al zo was. B.v. de vergelijking x²=4 heeft twee oplossingen: x=2 en x=-2. We hebben gewoon de positieve gekozen en gedefinieerd: 4^1/2 = 2. Maar bij complexe getallen ligt het veel minder voor de hand welke oplossing je moet kiezen. B.v. z²=-i heeft ook twee oplossingen: z=(1-i)/Ö2 en z=(i-1)/Ö2. Maar, welke van de twee zou jij (1-i)^1/2 willen noemen.

Het probleem, dat heb je al gemerkt, zit hem in het argument. Je kunt zeggen: arg(-i) = 1¹/₂p. Maar met het zelfde gemak zeg je arg(-i)=-¹/₂p, arg(-i)= 3¹/₂p, etc. Het argument is dus geen unieke functie. Dat kun je verhelpen door een interval te kiezen waarin het argument moet liggen. Voor de hand liggende intervallen zijn [0,2p en [-p,p, maar ieder interval met lengte 2p is goed. Dit noem je ook wel de coupure. Als je de coupure bij 2p legt bedoel je dat het argument boven 2p weer terugspringt naar 0, het inteval [0,2p dus.

Heb je je coupure/interval eenmaal gekozen, dan kun je z^1/p wel definieren: z^1/p = modulus(z)^1/pe^iarg(z)/p. Kies je het interval [0,2p, dan krijg je (-i)^1/2=(i-1)/Ö2, en kies je het interval [-p,p, dan krijg je (-i)^1/2=(1-i)/Ö2. Het probleem is nu bijna opgelost, maar toch niet helemaal. Aangezien beide coupures logisch zijn is er nog steeds geen meest logische definitie voor de wortel. Als je een wortel gebruikt moet je er dus bij zetten welke coupure je gebruikt.

Het kan nog ietsje vlotter. Dan heb je het (natuurlijk) logaritme nodig. Dat is de inverse van e^z. log(z) = modulus(z)+iarg(z). Hiervoor moet je dus een coupure kiezen. Vervolgens definieer je: z^x=e^xlog(z). Dat gaat goed voor elke reeele x.

En hoe zit het met de rekenregels? z^a+b=z^az^b geldt gewoon. Dat is geen probleem. Met z^ab=(z^a)^b moet je oppassen. Voor a,b uit Z is het geen probleem. Maar als a en b breuken zijn geldt de regel niet altijd. Maar (en dat is grappig), dat probleem had je met de reeele getallen ook al. Immers: ((-1)²)^1/2=1^1/2=1 en dat is niet hetzelfde als (-1)^2*1/2=-1¹=-1. De tweede regel is dus alleen maar toe te passen onder voorwaarden. In de praktijk heb ik daar overigens nog nooit problemen mee gehad. Alleen als je heel precies wilt rekenen krijg je met dit soort problemen te maken.

Maar, voor dit hele probleem is ook nog een andere oplossing mogelijk. Dat heb ik pas recent gehoord. Dan moet je gebruik maken van meerwaardige functies. De functie arg(z) geeft dan niet een antwoord, maar alle mogelijke antwoorden. B.v. arg(i) = {¹/₂p,-1¹/₂p,2¹/₂p,-3¹/₂p,4¹/₂p,-5¹/₂p,...} of in een andere notatie arg(i) = ¹/₂p+2p. Dit is ongeveer hetzelfde als jij schrijft: arg(i) = ¹/₂p+2kp alleen moet je er dan nog iets bij zeggen als "voor alle kÎ".

Pas je dit toe, dan krijg je (-i)^1/2={(1-i)/Ö2,(i-1)/Ö2}, maar ook (-1)^1/2 = {-1,1}. Dat laatste is wel weer een beetje vervelend omdat de complexe wortel een ander antwoord geeft dan de reeele wortel. Ik weet niet zeker of deze manier van werken ook problemen oplevert. Daarvoor ken ik hem niet goed genoeg. Je moet natuurlijk wel eerst leren werken met meerwaardige functies. Nog een voorbeeld: -1^1/4={1+i,-1+i,-1-i,1-i}/Ö2.

Het bovenstaande zegt (hopelijk) al een hoop over jouw vragen. Eerst vraag je waarom arg(e^iy)=y+2lp. Ik vraag me nu toch even wat wat je precies wilt weten. Om te beginnen moet je wel weten dat: e^iy=cos(y)+isin(y). Een argument hiervan is y. Maar y+2p is ook een mogelijk argument. Immers, e^i(y+2p)=e^iy. Om precies te zijn is y+2lp een argument van e^iy voor elke waarde van lÎ. Als je een coupure voor het argument kiest geldt niet meer automatisch: arg(e^iy)=y maar er is wel een lÎ zodat arg(e^iy)=y+2lp. Zo gaat het ook verder: er is een k zodat a) geldt. Vervolgens is er een l en m zodat dat gelijk is aan b). En uiteindelijk is er dus een n=l+m+k zodat arg(e^ixe^iy)=x+y+2np.

Alternatief kun je dat ook doen met de meerwaardige functie. Dan krijg je:
arg(e^ix)=x+2p, arg(e^iy)=y+2p, arg(e^ixe^iy)=x+y+2p.

Ik hoop dat dit helpt. Anders hoor ik het wel weer. Groet. Oscar.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 11 september 2007