WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bepalen snijnpunt van raaklijnen aan twee bekende punten en bekende straal

Hallo,

Ik zit met het volgende probleem.

Gegeven twee punten, A=(x₁,y₁) en B(x₂,y₂) en straal R.

Bepaal de coordinaten van het snijpunt P van de raaklijnen aan de cirkel met straal R die door punten A en B gaat.

Coordinaten van het middelpunt M1 van de cirkel zijn niet gegeven

Ik weet dat er twee cirkels zijn met straal R die door
de punten A en B gaan, de straal is dan ook positief of negatief gegeven, waarmee aangegeven wordt welke van de twee cirkels bedoeld wordt.
(negatieve straal = de cirkel welke ontstaat door met de klok mee vanuit A naar B te wandelen, positieve straal = tegen de klok in van A naar B).

Wat ik kan berekenen:
- lengte k van koorde AB
- coordinaten middelpunt M2 van koorde AB
- hoek die de vector AB maakt op de eenheidscirkel als we
A als middelpunt nemen.
- lengte van M2 naar M1 met behulp van pythagoras
- hoek ÐM1AM2 = asin(k/2 / R)
- evenzo hoek ÐABM1

Maar dan? Wat ik naar mijn idee nodig heb is het gegeven dat de loodlijn op de koorde AB door het gezochte punt Q gaat, dat de raaklijnen aan A en B loodrecht staan op respectievelijk lijnstukken AM1 en BM1 en dat ik met pythagoras en sinus / cosinus of tangens de coordinaten moet kunnen berekenen. Het laatste stukje kom ik echter niet uit.

Alvast bedankt voor de hulp

Marco
Iets anders - donderdag 26 juli 2007

Antwoord

Beste Marco,
Maak het jezelf gemakkelijk en begin met een voorbeeld waarbij je punt M2 in de oorsporong ligt.De halve koorde AB noem ik even t. Dus t=¹/₂k.
Maak zelf even een plaatje!
Je zegt al dat AM1 loodrecht staat op AP. (P is het snijpunt van de raaklijnen). Ook AM2 staat loodrecht op PM1. Er zijn dan een aantal gelijkvormige rechthoekige driehoeken. Bekijk bijvoorbeeld driehoek AM2P en driehoek M1M2A.Dan volgt:PM2/t=t/M1M2. Links en rechts met t vermenigvuldigen geeft: PM2=t²/M1M2.En M1M2=Ö(R²-t²).
Verder is de hoek die PM2 maakt met de y-as gelijk aan de hoek van AB met de x-as. Daarom geldt:xP (de x-coordinaat van P)=PM2·¹/₂(y₂-y₁)/t.
En yp=-PM2·¹/₂(x₂-x₁)/t.
(Voor het andere punt, met de andere cirkel wordt het negatief.)
t kon je zelf al berekenen!:t=¹/₂Ö((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²).

Om nu een voorbeeld te berekenen waarbij M2 niet persé in de oorsprong ligt moet je nog een translatie uitvoeren:
Tel bij de x-coördinaat nog ¹/₂(x₁+x₂) op en bij de y-coördinaat ¹/₂(y₁+y₁).
Succes!

ldr

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 26 juli 2007