WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

GOEDE Formule voor hoekbepaling op Aarde !

Geachte lezer, Iets waar ik nog steeds NIET uit kom !... (sorry Oscar)
Ik zoek een 'GOEDE' formule om aan de hand van 2 coordinaten de hoek te bepalen van Co-1 Naar Co-2... DUS 0 tot 90 graden, 90 tot 180 - 180 tot 270 en 270 tot 360 =(0)
DUS ik geef in bijv.: Co-1 = 20,371 Gr. Noord & 40,567 Gr. Oost... Co-2 = 30,345 Gr. Noord & 70,234 Gr. Oost... Er zou nu een hoek moeten uitkomen TUSSEN 0 en 90 Graden... DUS Oostelijk !... De Formule zou "LIEFST" zo moeten zijn dat deze exact de juiste richting weergeeft, dus ongeacht de Coordinaten, de juiste richting 0-90, 90-180, 180-270, 270-360=(0)... Ik puzzel hier al HEEL lang mee en de hoeken veranderen natuurlijk ook, als ik naar een andere kant van de wereld ga, over de Pool bijvoorbeeld... Of anders... Enfin... Misschien Kan en Wil iemand mij helpen ???... Waarvoor ZEER veel dank... m. vr. Groeten, John

John
Ouder - woensdag 25 juli 2007

Antwoord

Je vraag kan, denk ik, op een paar manieren worden geinterpreteerd. Mijn interpretatie gaat er van uit dat je in een punt P staat en de hoek op je kompas wil bepalen die je het snelst naar een punt Q brengt. Daarbij moet je dan wel goed voor ogen houden dat van zodra je vertrekt je je kompas niet meer kan gebruiken met die hoek. (Vergelijk het begin en het einde van een straat, met als 'noordpool' een kerktoren die wat verderaf staat: gedurende de hele trip zal de hoek tussen kerktoren en gewenste bestemming veranderen.

Ik ga er verder ook van uit dat de aarde bolvormig is. Noem het middelpunt C en neem voor het gemak de straal 1 (je voelt aan dat de precieze waarde geen invloed zal hebben). C is de oorsprong van een (x,y,z) assenstelsel, met z-as door de noordpool.

De hoeken $\phi$ geven de lengtegraad aan (positief gerekend voor oosterlengte), de hoeken $\theta$ geven de breedtegraad aan (positief gerekend voor noorderbreedte).

De (x,y,z)-coordinaten van P en Q in functie van hun breedtegraad zijn dan

P_x = cos$\phi$_P cos$\theta$_P
P_y = sin$\phi$_P cos$\theta$_P
P_z = sin$\theta$_P

Q_x = cos$\phi$_Q cos$\theta$_Q
Q_y = sin$\phi$_Q cos$\theta$_Q
Q_z = sin$\theta$_Q

Voor de noordpool N geldt natuurlijk

N_x = 0
N_y = 0
N_z = 1

Het kortste pad van P naar Q is een stuk van de cirkel die door P en Q gaat en C als middelpunt heeft. De gevraagde hoek $\alpha$ is dan hoek tussen het vlak (C,P,N) en het vlak (C,P,Q). Die hoek is gelijk aan de hoek tussen een normaal op het vlak (C,P,N) en een normaal op het vlak (C,P,Q), dus de hoek tussen (PxN) en (PxQ) (waarbij 'x' het vectorieel of kruisprodukt voorstelt).

De hoek tussen twee vectoren (of liever z'n cosinus) vind je gemakkelijk met behulp van het inwendig produkt. Dat geeft dan

cos $\alpha$ = [(PxN).(PxQ)]/(||PxN||.||PxQ||)

Hier uit haal je dan $\alpha$, op een veelvoud van 180 graden na (of je liefst vooruit loopt of achteruit moet je zelf uitmaken, beide oplossingen brengen je op je bestemming).

Met

(PxN).(PxQ) = cos$\theta$_P [cos$\theta$_P sin$\theta$_Q - sin$\theta$_P cos$\theta$_Q cos($\phi$_P-$\phi$_Q)]

||PxN|| = |cos$\theta$_P|
||PxQ|| = √[[cos$\theta$_P sin$\theta$_Q - sin$\theta$_P cos$\theta$_Q cos($\phi$_P-$\phi$_Q)]² + cos²$\theta$_Q sin²($\phi$_P-$\phi$_Q)]

Aangezien cos$\theta$_P altijd positief is, kunnen we die absolute-waardestrepen weglaten en komt er

cos $\alpha$ = a / √[a² + b²]

met

a = cos$\theta$_P sin$\theta$_Q - sin$\theta$_P cos$\theta$_Q cos($\phi$_P-$\phi$_Q)
b = cos$\theta$_Q sin($\phi$_P-$\phi$_Q)

Dat kan je misschien iets vereenvoudigen door teller en noemer te delen door het produkt van de cosinussen, waardoor er bijna enkel tangensfuncties overblijven, maar dat is afwerking.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 augustus 2007