WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Convergentiegebied

Ik snap niet precies hoe je van een machtreeks het convergentiegebied kan berekenen. Kunt u mij dit uitleggen met behulp van de uitwerkingen van de volgende opgaven:

$
\eqalign{
& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {x - 1} \right)^n }}
{{n \cdot 3^n }}} \cr
& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {x - 5} \right)^n }}
{{2^n }}} \cr
& \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {x + 1} \right)^n }}
{{n(n + 1)}}} \cr}
$

Alvast bedankt
peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 23 juni 2007

Antwoord

Het hangt er een beetje van af welke methoden je al kent maar in al jouw gevallen werkt het volgende: noem de algemene term even a_n en bereken het quotiënt |a_n+1|/|a_n|.

Bij de eerste reeks krijg je dan (-1)·(x-1)·n/((n+1)·3); bepaal de limiet, voor n naar oneindig, van de absolute waarde, in dit geval |x-1|/3, en bekijk wanneer die uitkomst kleiner dan 1 is.

Hier dus |x-1|/3$<$1 en dat geeft |x-1|$<$3 of -2$<$x$<$4. Voor die x-en heb je zeker convergentie en voor de x-en met |x-1|/3$>$1 heb je zeker divergentie. Rest nog de randpunten te onderzoeken: vul x=-2 en x=4 in; je krijgt respectievelijk 1/n en (-1)ⁿ/n. De eerste geeft een divergente reeks, de tweede geeft een convergente reeks.

De andere twee kun je op dezelfde manier proberen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 26 juni 2007