WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meetkundige rij aantonen

Men beschouwt de rij positieve getallen t1,t2, ...,tn, ..., waarbij voor elke n1, er geldt t1t2 ... tn-1 = 4tn
Vervolgens beschouwt men een nieuwe rij T1,T2, ..., Tn, ..., waarbij, voor elke n1, Tn= 1/ (log 1/2 tn)

Gevraagd:
* Toon aan dat de rij T1, T2, ..., Tn, ... een meetkundige rij is
* Bepaal de uitdrukking van Sn = T1 + T2 + ... + Tn als functie van n,indien u weet dat t6=16

Aan deze oefening kwam ik niet dadelijk uit, graag jullie vakundige help en uitleg

Groeten
Nick
Nick
3de graad ASO - zaterdag 23 juni 2007

Antwoord

Dag Nick,

Behoorlijk pittige opgave... Ben je zeker dat die 1/2 er moet staan in de definitie van Tn? Of is dat het grondtal dat bij die log hoort? Ik zal daar maar vanuit gaan, want anders klopt het niet helemaal...

Als je wil aantonen dat een rij meetkundig is, gaat dat meestal het makkelijkst door aan te tonen dat het quotiënt van twee opeenvolgende termen, constant is. Probleem is hier dat de rij T_n niet echt mooi gegeven is, dus daar moet je eerst een eenvoudigere uitdrukking voor vinden. Dat kan als volgt:

Je moet ergens de log met grondtal 1/2 nemen. Dus zou het handig zijn mocht je alles kunnen schrijven als macht van 1/2 of macht van 2. Vandaar zou ik voorstellen om de eerste term te schrijven als t₁=2^a waarbij a onbekend is. Je kan elk positief getal op deze manier schrijven, en de t-termen kunnen nooit negatief zijn omdat je er nog een logaritme van moet nemen. Dus met t₁=2^a doe je niks verkeerd.

Probeer dan een expliciet voorschrift op te stellen voor de t-rij:
t₁=2^a
t₂=t₁/4=2^a/4=2^a-2
t₃=t₁t₂/4=2^a+a-2-2=2^2a-4
t₄=t₁t₂t₃/4=2^a+a-2+2a-4-2=2^4a-8
t₅=t₁t₂t₃t₄/4=2^{a+a-2+2a-4+4a-8-2}=2^8a-16

Je herkent hier een regelmaat in:
t_n=2^{a*2^n-2-2^n-1}

Als je dat niet ziet of niet wil aannemen, kan je dit aantonen met inductie.

Nu we een expliciet voorschrift voor t_n hebben, kunnen we makkelijk een voorschrift voor T_n bekomen:

T_n=1/log(t_n) (de log heeft grondtal 1/2)
= 1/log(2^{a*2^n-2-2^n-1})
= -1/(a*2^n-2-2^n-1)
= 1/2^n-2 * 1/(2-a)

En dus T_n+1=1/2^n+1-2 * 1/(2-a)=1/2^n-1 * 1/(2-a) waaruit je dan meteen het quotiënt T_n+1/T_n = 1/2 kan berekenen. Een constant quotiënt, dus de T-rij is een meetkundige rij.

Dan is het moeilijkste gedaan: als n=6 dan moet t₆=2^16a-32 gelijk zijn aan 16=2⁴, daaruit haal je a. Die a vul je in in het expliciete voorschrift van T_n en dan gebruik je de formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij.

Daarmee is de vraag opgelost... op één detail na: als je goed kijkt zie je dat t₁ niet voldoet aan het algemene voorschrift t_n=2^{a*2^n-2-2^n-1}, want als je daarin n door 1 vervangt krijg je t₁=2^a/2-1 en dus niet 2^a. Dat heeft voor gevolg dat ook T₁ niet gelijk is aan wat we met de formule uitkwamen, namelijk als je n=1 invult krijg je T₁=2/(2-a) terwijl uit de definities t₁=2^a en T₁=1/log(t₁) volgt dat T₁=1/a. Heel strikt genomen is T_n dus geen meetkundige rij...

Voor de som van de eerste n termen van T krijg je dus:
1/a - 2/(2-a) + de som van de eerste n termen van T volgens de meetkundigereekssomformule
waarbij de eerste twee termen dus dienen om die 'fout' bij n=1 op te vangen.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 24 juni 2007