WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goniometrische vergelijkingen, limieten en absolute waardes

Hallo,

Binnenkort komt het tentamen analyse om de hoek kijken en aangezien dit het enige vak is wat ik nog te doen heb voor mijn propedeuse begint de spanning wat op te lopen.
Wat ik momenteel aan het doen ben is me op een zo goed mogelijke wijze voorbereiden op het tentamen door te oefenen met vraagstukjes, maar toch blijf ik met enkele vragen zitten, temeer omdat we maar een zeer bepertk aantal contacturen met de vakdocent hebben.

Goed, ik vraag me dus of of mijn handelswijze goed is voor een aantal opdrachten.

Bereken de oplossingen in die voldoen aan:
x²+|x+3|-12.

Nu ga ik als volgt te werk.
X=positief als x -3
X=negatief als x -3
Dit levert mij de volgende vergelijkingen
x²+x-9=0 & x²-x-9=0
Deze vergelijkingen los ik vervolgens op met de abc-formule om de kijken of te antwoorden voldoen.

Wat als de vergelijking nu in deze vorm
x·|x+3|-9=0 gegeven wordt.
Klopt mijn uitwerking naar:
x ·-(x+3)-9=0 levert -x²-12 = 0
en
x·+(x+3)-9=0 levert x² - 9 = 0

Het oplossen van de vergelijkingen lukt wel door te ontbinden in factoren danwel de abc-formule, maar het gaat me vooral om de aanpak.

Volgende punt;
Bepaal in radialen: w=arcsin(cos ⁵/₄p

Nu ga ik als volgt te werk;
cos ⁵/₄p levert:
-¹/₂Ö2

wat weer levert sin(w) = -¹/₂Ö2
Wat voor w levert ⁵/₄p EN ⁷/₄p

Volgende bepaal alle oplossingen x Ì [0, 2p] 2cos(3x) = Ö3

Ik deel eerst de vergelijking aan allebei de kanten door 2
dat levert me
cos(3x) = ¹/₂Ö3
Waarna we in de tabel alle mogelijke waarden voor cos(x) opzoeken, dus p/4 (en nog 3 andere)
Vervolgens kom ik dus op p/12 (en nog 3 andere)
Klopt deze aanpak?

Bepaal de nulpunten van een polynoom. bijvoorbeeld x³-2x²-5x+6
Nu kan ik een 2degraads vergelijking redelijk eenvoudig oplossen door ontbinden in factoren of de abc-formule.
MAAR met een hogeregraads polynoom weet ik me tot dusver geen raad, ik kan natuurlijk tot x(x² - 2x - 5 +6) komen maar verder tast ik in het duister...

Ik merk dat het inmiddels weer een behoorlijk stuk tekst is geworden dus limieten laat ik nog even achterwege, ik hoop dat u mij hiermee wilt helpen, ondanks de stroom van informatie.

Sebast
Student hbo - donderdag 21 juni 2007

Antwoord

1) Er geldt: |f(x)| = f(x) als f(x) 0 en |f(x)| = -f(x) als f(x) 0. Dus die |x+3| wordt x+3 als x -3, het wordt -x-3 als x -3. Volgens mij ben je in dat tweede geval het minteken bij 3 vergeten.

Dat tweede is wat onduidelijk, bedoel je een vermenigvuldiging? Dan geldt: x·|x+3| = x·(x+3) = x²+3x als x -3. Je moet dus het geheel wel binnen haakjes laten. Zo zal voor x -3, x·|x+3|-9 dan x·(-x-3)-9 worden, dus dat geeft -x²-3x-9, jij hebt die x niet bij de -3 en er dus gewoon -12 van gemaakt.

2) Dat klopt, veelvouden van 2p mag je er nog bijtellen natuurlijk.

3) Er staat nu de cosinus van "een hoek" (hier: 3x) is gelijk aan Ö3/2. Dan zoek je inderdaad op voor welke hoek(en) dit geldt en je stelt dat gelijk aan 3x. Delen door 3 levert dan de hoek x. Volgens mij is het wel p/6 in plaats van p/4 (dat geeft Ö2/2), dus delen door 3 levert dan p/18. En de andere oplossingen in [0,2p] nog.

4) Die ontbinding met x buiten haakjes te brengen klopt niet, want de term 6 had geen x, die kan je dan ook niet afzonderen. Het is voor derdegraadsveeltermen niet altijd mogelijk de nulpunten op een eenvoudige manier te bepalen. Wanneer dit wel kan, zijn er enkele trucjes.

Als de som van de coëfficiënten gelijk is aan 0, dan is x = 1 een nulpunt en dus (x-1) een factor in de ontbinding. Ga na dat dat in jouw voorbeeld het geval is. Dan hou je nog een kwadratische factor over, na afzonderen van die factor (x-1).

Als je hier nog vragen over hebt, gebruik dan het knopje reageren. Voor een andere vraag (bvb over limieten) start je best een nieuwe vraag.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 juni 2007

Re: Goniometrische vergelijkingen, limieten en absolute waardes