WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meneer van Dale (2)

Hier volgen nog wat artikelen over 'Meneer van Dale wacht op Antwoord' met betrekking tot de volgorde van bewerkingen.
Modera
Iets anders - zaterdag 2 november 2002

Antwoord

Hierover is in de WiskundE-brief 182

Hieronder mijn bijdrage:
De Van Dalen discussie als periodiek verschijnsel
Het is begrijpelijk dat het weer aan de orde stellen van voorrangsregels t.a.v. met name het vermenigvuldigen en delen bij sommige (wat oudere?) lezers tot enige irritatie aanleiding geeft - 'Nee, niet weer die discussie !' Misschien is het toch goed een paar kanttekeningen te maken. Ik maak hierbij dankbaar gebruik van twee artikelen in de Nieuwe Wiskrant van ca. 5 jaar geleden, van Ed de Moor (nr 14-3 ) en Hessel Pot (nr 16-1) Helaas zijn - voor zover ik weet - beide artikelen niet on-line beschikbaar, maar wellicht heeft u of uw collega nog een stapel oude Nieuwe Wiskranten liggen.

1) De discussie is al meer dan een eeuw oud. Als bron van de regel MVDWOA wordt o.a. genoemd werk van de bekende J. Versluys (ca. 1875). In 1881 werd een over dit thema stevig gediscussieerd in Het Schoolblad. Af en toe komt het thema terug in dagbladen, en veel instellingen zoals het Freudenthal Instituut en het Cito worden er regelmatig mee lastiggevallen. De sectie wiskunde van het IchtusCollege (Enschede) stelde zo'n 7 jaar geleden voor om de regels van de (wetenschappelijke) rekenmachines als algemeen geldend te verklaren en ruim bekend te maken

2) Een complicerende factor is dat sommige mensen en instanties van mening zijn dat het gaat om afspraken die helder vastgelegd moeten worden, en die iedereen moet kennen, terwijl anderen van mening zijn dat het probleem in de praktijk eigenlijk niet bestaat, de context aangeeft wat de bedoeling is, en desnoods haakjes gebruikt kunnen worden. Ed de Moor laat zich in het eerder genoemde artikel in die zin uit, Het doelenboek van het Cito 1995 (basisonderwijs) neemt ook geen duidelijk stanpunt in; 'Omdat geen eenstemmigheid bestaat over dit punt, vermijden we in de Eindtoets opgaven waarbij dit een rol speelt' Daar staat tegenover dat - zie ook de bijdrage van Agneta Aukema in nr 177- in de syllabus voor het centraal examen wiskunde mavo/vbo C en D ingaande 1-8-1996 uitdrukkelijk staat: 'Machtsverheffen gaat v$\sigma\sigma$r. Dan vermenigvuldigen & delen, in de volgorde waarin zij staan (van links naar rechts) '(

Misschien dat dit laatste verklaart waarom volgens de enquête van collega Bekker (zie nr 181) de leerlingen van klas 1 van het MBO veel beter op de hoogte zijn dan leerlingen van de bovenbouw HAVO-VWO. Zij hebben immers voor het overgrote deel VBO/MAVO als vooropleiding.

3) Wat verwarrend werkt is dat sommigen 'Mijnheer van Dalen' gebuiken als aanduiding dat vermenigvuldigen en delen voorrang heben boven optellen en aftrekken. Het zinnetje heeft voor hen een aangepaste betekenis gekregen. Ook is mijn indruk dat in het basisonderwijs in het algemeen weing aandacht besteed wordt aan de volgorde van de bewerkingen. Een opgave als 2+8x₇ geeft vaak aanleiding tot verwarring.

4) Wanneer je je wat verder in de materie verdiept en niet alleen let op bewerkingen met getallen maar ook fomules e.d. (zoals Hessel Pot uitvoerig gedaan heeft) blijken sommige zaken weer minder eenduidig te worden. Met name het 'tekenloos product' is wat dit betreft 'spelbreker'. Zo wordt 2a : 3a meestal gezien als gelijkwaardig (a<>0) aan 2 : 3 , en niet aan ²/₃ · a² . In dit verband kunn ook spaties een belangrijk rol spelen bij de interpretatie. Overigens worden dit soort notaties tegenwoordig vaak met een breukstreep geschreven, behalve als het om verhoudingen gaat. Hessel Pot noemt in zijn artikel veel meer voorbeelden van 'eigenwijze uidrukkingen' (uit bestaande boeken), zoals 3/4 : 3/8 en 10 : 2x De praktijk is vaak weerbarstiger dan de theorie, maar is dat erg ?

gk

Wanneer zou ik niet weten, maar waarom wel.
Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord, geeft de volgende volgorde aan: Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en als laatste Aftrekken.

Dus bv. 6:3·2 zou eerst 3·2=6 gedaan moeten worden en vervolgens 6:6 =1. DIT IS FOUT. Vermenigvuldigen en delen gaan zoals ze staan ofwel:
6:3 = 2 en dus 2·3 = 6
Hetzelfde geldt voor optellen en aftrekken: 6 - 3 + 2 is dus niet eerst 3 + 2 = 5 en dan 6 - 5 = 1, maar 6 - 3 = 3 en dan 3 + 2 = 5
Ook het worteltrekken hoort helemaal vooraan te staan. Echter omdat met tegenwoordig de streep doortrekt van een wortel is duidelijk te zien wat er onder de wortel valt. Indien je dit niet zou doen krijg je bv. wortel 2 · 2. Volgens 'Van Dale' is dit dus wortel 4 = 2, maar dat is dus niet waar, het zou moeten zijn 2 · wortel 2.
Ik heb hier thuis een uitgebreid stuk over liggen, zal het je emailen.

PHS

Zoals nog beloofd, de formele rekenregels:
De regels

De formele regels over de verschillende bewerkingen in de wiskunde luiden als volgt:

Er zijn 4 te onderscheiden groepen:
Alle eenplaatsige functietekens: √, !, sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, log, ln, ...
Machtsverheffing: ^
Vermenigvuldiging en deling: · en :
Optelling en aftrekking: + en -
Tekens in groep 1 heten sterker te binden dan de tekens in groep 2, en die binden weer sterker dan tekens in groep 3, en die weer sterker dan tekens in groep 4. In principe moet een sterkere funktie eerder worden uitgevoerd dan een zwakkere. Bij het afbreken van een term wordt steeds het teken met de zwakste bindingskracht opgebroken.
De term 1+√2·4 staat dus voor 1+((√2)·4) want √ gaat voor · en · gaat voor +

Bij tekens uit dezelfde groep bindt het linker teken sterker dan het rechter, ofwel ze gaan zoals ze staan.

Nu eens kijken, naar het oude ezelsbruggetje: Mijnheer Van Dalen Wacht Op Antwoord, wat duidt op de volgorde Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen, Aftrekken.
Volgens deze regel moet dus de volgende bewerking: 2 – 3 + 5, eerst 3 + 5 gedaan worden wat 8 geeft, en dan 2 – 8 = -6, het wordt dus gelezen als (2-5)+3, in welk geval + zwakker bindt dan -.
Echter volgens de formele regels geldt dat – en + gaan zoals ze staan, ofwel van links naar rechts wat geeft: 2 – 3 = -1, en vervolgens –1+5 = 4
Hier wordt meestal nog op ingespeeld met de toevoeging aan de ezelsbrug met de zin: “,maar optellen en aftrekken gaan zoals ze staan”.

Echter ook vermenigvuldigen en delen gaat mis. Neem bijvoorbeeld 6:2·3. Volgens Van Dalen zou nu eerst 2·3 gedaan moeten worden, wat 6 geeft en dan 6:6 wat 1 geeft. Het wordt dus gelezen als 6:(2·3), in welk geval : zwakker bindt dan ·.
Volgens de formele regels geldt echter dat eerst 6:2 gedaan moet worden, wat 3 geeft en vervolgens 3·3, wat 9 geeft.

Ook √2·5 wordt meestal met Van Dalen geïnterpreteerd als √2·5, dus zou · minder sterk binden dan √.

Al met al werkt Mijnheer Van Dalen Wacht Op Antwoord gewoon niet meer.

PHS

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 2 november 2002

Re: Meneer van Dale (2)