WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Huisje

Hoi!

Mijn naam is Anne Verstappen en ik ben 19 jaar oud. Ik studeer aan de PABO te Maastricht, nu voor het eerste jaar.
Een vraag die me al vanaf de middelbare school heeft bezig gehouden heeft te maken met een trucje wat iemand me op de basisschool al uithaalde: het tekenen van een huisje in een keer. Het bestaat uit een vierkantje met een kruis erdoorheen en een driehoekje erbovenop.
Als ik iets graat wil weten, dan ga ik er ook voor. Ik wilde weten op hoeveel verschillende manieren dat huisje te tekenen is. Wat ik al heb uitgevonden is dat je alleen in de twee beneden hoeken kunt beginnen. Ik heb zoveel mogelijk mogelijkheden getekend, maar nu is mijn vraag: hoe weet ik of ik ze allemaal heb? Bestaat er geen formule om dit uit te rekenen?
Ik hoop graag op een reactie!

Groetjes Anne
Anne V
Student hbo - woensdag 30 mei 2007

Antwoord

LET OP: antwoord later aangepast. Zie de opmerking onder het plaatje.

Hoi Anne,

Leuke vraag. Eerst wat achtergronden. De reden dat je links- of rechtsonder moet beginnen is natuurlijk dat er bij die punten drie streepjes bij elkaar komen. Je kunt dus één keer erin en eruit. En dan nog één keer eruit of erin. Je begint dus bij de ene en eindigt bij de andere. Bij de andere punten komt een even aantal lijntjes bij elkaar. Als je die punten in kunt kun (moet) je er dus ook altijd weer uit. Bij die punten kun je dus niet beginnen. Het is voldoende om het aantal huisjes te tellen waarbij je linksonder begint en rechtsonder eindigt. Het aantal dat rechtsonder begint en linksonder eindigt is even groot.

Nu de aanpak die (hier) niet werkt. We beginnen dus linksonder. Je kunt nu alle mogelijkheden in een boom zetten. Vanuit linksonder kun je drie mogelijke lijntjes tekenen. Bij elk van die mogelijkheden kun je weer kijken naar welk volgende punt je een lijntje kunt tekenen. Als je zo doorgaat krijg je alle mogelijke manieren. Dit is een prima manier. Alleen er lijken wat te veel huisjes om deze boom helemaal te maken.

Daarom gebruiken we een truukje. Je moet altijd via het bovenste punt. Nu kun je het probleem iets anders formuleren: Op hoeveel manieren kun je van linksonder via boven naar rechtsonder?
Eerste kijk je op hoeveel manieren je van linksonder naar boven kunt. Hieronder staan de de 16 mogelijke plaatjes (2 met 2 streepjes, 4 met 3 streepjes, 4 met 4 streepjes, 4 met 5 spreepjes en 2 met 6 streepjes):

!!!! (opmerking bij het plaatje: de plaatjes op rij 5 kunnen ALLE VIER op 2 manieren en de plaatjes op rij 6 kunnen ALLE TWEE op 6 manieren.) !!!!

Zoals erbij staat kun je er van de 16 plaatjes maar 12 op één manier tekenen. Vier kun je op 2 manieren tekenen en twee op 6 manieren. In totaal kun je dus op 12+2+2+2+2+6+6 = 32 manieren van linksonder naar boven.
Nu moet je nog van boven naar rechtsonder. Dat kan op precies evenveel manieren. Namelijk met het spiegelbeeld van de plaatjes.

En dan tenslotte het aantal mogelijkheden om het hele huisje te tekenen. Neem eerst eens eerste plaatje. Daarmee kon je op één manier van linksonder naar boven. Met het spiegelbeeld kun je nu op 6 manieren van boven naar rechtsonder. Dat geeft 6 manieren om het hele huisje te tekenen. Zo ga je alle plaatjes langs. Dan vind je: (1x6+1x6) + (1x2+1x2+1x2+1x2) + (1x1+1x1+1x1+1x1) + (2x1+2x1+2x1+2x1) + (6x1+6x1) = 12+8+4+8+12 = 44 manieren. Zo kom ik dan op 44 manieren om het huisje te tekenen van linksonder naar rechtsonder. Nog eens 44 manieren om het van rechtsonder naar linksonder te doen geeft in totaal 88 mogelijkheden.

Nou. Het is een beetje ingewikkeld verhaal geworden. Ik hoop dat je het kunt volgen. Het zijn er niet zo veel als ik gedacht had. Dat moet ook met een gewone boom te tekenen zijn. Dat ga ik zo nog even proberen.

Groet. Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 17 juni 2007