WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Inverteren van functies

Dit is een reactie op vraag 50779

Is dit nou hetzelfde als integreren, kan je het uitleggen met een tekening , want het integreren is mij niet helemaal duidelijk met y=a. En hoe gebruik je bij een integraal de absolute waarde algebraisch bij een oppervalkte en een omwentelingslichaam?

Ps. Moet je voor het examen de standaardnormale verdeling kennen voor het examen wisk. B12 Vwo? en hoe werkt dit in vergelijking met de normale verdeling?
Piet
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 15 mei 2007

Antwoord

Kijk, als je een curve hebt zoals y=x³ dan is dat niks anders dan een betrekking tussen x en y. Ik kan ervoor kiezen de betrekking te schrijven in de vorm van y(x)=x³ en dan voor iedere x-waarde de bijbehorende y-waarde te berekenen. Zo krijg je alle coordinatenparen (x,y) die tezamen de curve vormen.
Maar wat óók kan, is dat je betrekking tussen x en y uitdrukt als x=..
Zo kun je ervoor kiezen om x(y)=y^1/3 te schrijven

Welnu, wanneer je de oppervlakte onder de curve wilt uitrekenen op de 'gebruikelijke' manier (dzw oppervlakte tussen de curve en de x-as), dan tel je in feite alle oppervlaktetjes op van de rechthoeken met hoogte y(x) en breedte dx:

de ondergrens is de verticale lijn x=1 en de bovengrens is x=2.
Deze 1 en 2 staan resp. aan de onder- en bovenkant van de integraalhaak.

Maar wanneer je nu de oppervlakte tussen de curve en de y-as wilt uitrekenen, moet je uitgaan van de volgende situatie:

Je telt in feite alle rechthoekjes op met 'hoogte' x, en met breedte dy.
Je moet hiervoor wel weten hoe x van y afhangt. ofwel x(y) moet je weten.

Voorbeeld: je wilt van y=x² de opp. weten tussen de curve, de y-as en de lijnen y=1 en y=2.
Dit is haast hetzelfde als de integraal op de klassieke manier, maar dan een kwartslag gekanteld.
voor het getekende traject geldt: x=y^1/2 ofwel x=√y
Opp=₁$\int{}$²√y.dy
= [²/₃y^3/2]^y=2_y=1 = $\frac{4}{3}$√2 - ²/₃

Hopelijk heeft dit voorbeel e.e.a. verhelderd.

groeten en veel succes met je examen
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 mei 2007