WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Fietslampje

Ik had hier gekeken op de site en zag deze vraag met antwoord:
Wie heeft de paraboolformule uitgevonden?
Nu had ik hierover weer een vraag kunt u misschien uitleggen hoe het precies in zijn werk gaat zo'n brandpunt bij een fietslamp want van de wand die erachter zit snap ik wel maar hoe moet je dat uitrekenen waar alle lichtstralen uiteindelijk samenkomen (brandpunt)

Alvast bedankt
ester
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 17 april 2007

Antwoord

Dag Ester,

Leuke vraag.

Een wiskundige maakt een parabool door een punt en een lijn te nemen en alle punten te tekenen die net zover van de lijn vandaan liggen als van het punt. Dat punt heet het brandpunt. Zie hiervoor het plaatje linksboven. Neem je bijvoorbeeld voor de x-as en het punt (0,2) dan krijg je de parabool: y=x²+1 (bewijs dat maar eens. dat is een goede oefening). Overigens is een parabool voor wiskundigen ook nog een kegelsnede. Het kost wat meer moeite om aan te tonen dat dat ook hetzelfde is.

Een natuurkundige spreekt over een brandpunt als alle lichtstralen die door een spiegel weerkaatst worden (of door een lens gebroken) vervolgens bij elkaar komen. Het punt waar ze zij elkaar komen heet weer het brandpunt. Zie hiervoor het plaatje linksonder.

Een parabool is inderdaad zo'n spiegel en het wiskundige brandpunt en het natuurkundige brandpunt liggen op dezelfde plaats. Maar hoe bewijs je dat?

Dat zie je in grote lijnen op het plaatje rechtsonder. Je neemt een punt dat ietsje verder op de parabool ligt. Dat punt ligt iets verder van de lijn en ook iets (evenveel) verder van het brandpunt. Dat extra stukje kun je vinden door een horizontale lijn te trekken (het blauwe lijntje).
Maar, teken je nu loodrecht op de lijn van het brandpunt naar het nieuwe punt een lijntje naar het oude punt (het andere blauwe lijntje) dan is het stukje wat erbij is gekomen ook (bijna) gelijk aan de extra afstand (als de punten niet te ver van elkaar liggen).
Kijk nu goed dan zie je dat de twee blauwe driehoekjes hetzelfde zijn. Kijk nog eens goed en zie dat (de scherpe hoek van) het rechterdriehoekje (90 graden min) de hoek van inval geeft en het linker driehoekje de hoek van terugkaatsing (overstaande hoek). Dus, de loodrecht invallende lichtstraal wordt inderdaad teruggekaatst naar het brandpunt. Dat geldt voor alle punten van de parabool en dus ook voor alle lichtstralen.

PS: De andere twee plaatjes zijn ook parabolen.

Groet. Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 17 april 2007