WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Annuiteiten

A heeft een annuiteitenlening van €300.000 afgelost voor de financiering van zijn huis.
Het interestpercentage is 6% en de looptijd 20 jaar.
Hoeveel moet A in het tweede jaar per saldo betalen als zijn tarief voor de inkomstenbelasting 40% bedraagt?
Ewout
Student hbo - zondag 8 april 2007

Antwoord

Beste Ewout,

Je stelt veel vragen over annuiteiten, maar ik zie nog niet dat je al een idee hebt wat je kunt doen. Dus nog maar wat extra informatie. Als je kunt laten zien hoever je zelf met de berekening komt, dan kunnen we je misschien verder helpen.

Een annuiteit is een periodieke betaling. Het ingewikkelde is dat je meestal niet is gegeven hoe hoog de betaling is, maar hoe hoog de schuld is die er uiteindelijk mee moet worden afgelost.

In dit geval zijn er 20 betalingen. De 1e aan het einde van de 1e periode. De 2e aan het eind van de 2e periode .... en de 20ste aan het eind van de 20ste periode. Je kijkt naar de waarde van al die betalingen (dus inclusief rente) aan het einde. Als de waarde van iedere betaling A is, is aan het einde de waarde van de:
1e betaling: A·1,06¹⁹ (19 jaar rente)
2e betaling: A·1,06¹⁸ (18 jaar rente)
3e betaling: A·1,06¹⁷ (17 jaar rente)
...
18e betaling: A·1,06² (2 jaar rente)
19e betaling: A·1,06 (1 periode rente)
20ste betaling: A (geen rente want deze betaling is op het moment van aflossen)

De totale waarde is dus:
A·1,06¹⁹+A·1,06¹⁸+A·1,06¹⁷+...+A·1,06²+A·1,06+A
= A·(1,06¹⁹+1,06¹⁸+1,06¹⁷+...+1,06²+1,06+1)
= A·(1,06²⁰-1)/0,06 = A·(3,21-1)/0,06 = A·36,8

Je gebruikt de algemene formule voor annuiteiten: Als je een annuiteit hebt met n betalingen A en een een rente r. Dan is de totale waarde op het moment van de laatste betaling:
A·((1+r)^n-1+(1+r)^n-2+...+(1+r)+1) = A·((1+r)ⁿ-1)/r

Om nu te bepalen hoe groot de betaling A is moet je weten hoe groot de schuld is die moet worden opgelost. Die is: 300.000·1,06²⁰. Die reken je uit en vervolgens moet de bovenstaande formule voor de totale waarde gelijk zijn aan dit bedrag. Daarmee bereken je dan A.

Dit is het eerste wat je moet doen voordat je altijd moet doen voor je verder vragen over een annuiteit kunt bepalen. Eerst moet je de hoogte van de periodieke betaling betaling bepalen. Om de vraag te beantwoorden is nog wat meer nodig. De bruto betaling is A (het gaat om 1 periode). Maar een deel daarvan is rente, en daarover hoef je geen belasting te betalen. Nu moet je berekenen hoe groot de schuld aan het begin van het 2e jaar is en vervolgens hoeveel rente daar in dat jaar op zit. Maar je moet ook kijken hoe groot de waarde van de annuiteit aan het begin van het 2e jaar is. Dat is gelukkig niet zo moeilijk want op dat moment is net de eerste betaling gedaan. Op die waarde komt ook rente en die moet je weer van de rente op de schuld aftrekken. Want alleen de netto rente kun je aftrekken voor de inkomstenbelasting.

Nog twee opmerkingen. Ten eerste is het bovenstaande één van de mogelijke manieren om naar een annuiteit te kijken (dit komt sterk overeen met de spaarhypotheek waar je ook naar vroeg). Een andere (meer gebruikelijke) manier om naar annuiteiten (bij hypotheken) te kijken is dat je betaling (A) voor twee zaken gebruikt wordt. Eerst betaal je de rente van dat jaar over de schuld. Wat dan nog overblijft gebruik je om een deel van de schuld af te lossen. In het volgende jaar is de rente dan minder zodat je iets meer af kunt lossen, etc. Het is een goede oefening om dit in een tabel stap voor stap uit te rekenen. Je ziet dan dat het voor het resultaat niets uitmaakt. Als je de berekening goed hebt gedaan is aan het eind van de 20ste periode precies de hele schuld afgelost.

2e opmerkinge: wiskundigen zien de annuiteit als (de som van) een meetkundige rij. De laatste betaling is A. Iedere betaling daarvoor wordt vermenigvuldigd met (1+r). De formule die ik gaf komt voort uit de formule voor de som van een meetkundige rij.

Ik hoop dat je hier verder mee komt en zie graag hoe het lukt met je berekeningen.

Groet,
Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 april 2007