WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Perfecte getallen

Dit is een reactie op vraag 49969

In één van de bronnen die ik als doorverwijzing van u heb gekregen staat dat een even getal perfect is en alleen perfect is als je het 2^n-1×(2ⁿ−1) kan noteren waarbij 2ⁿ-1 een priemgetal is...

in het boek the world of mathematics staat de tweede notering die ik in mijn vraag heb staan

welke van de twee is correct ? Of zijn ze allebei correct
ZO ja is hier een bewijs voor ,, een bewijs dat ook voor een bovenbouw gymnasium student te volgen is. Ik heb namelijk al op een van de sites gekeken , maar daar stond er één die behoorlijk ingewikkeld is..
Misschien dat u het in kleine stappen aan mij zou kunnen uitleggen

Alvast bedankt
Hassan
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 3 april 2007

Antwoord

Dat is inderdaad hetzelfde: beide uitdrukkingen zijn van de vorm:
"een macht van 2" maal ("het dubbele daarvan min 1")

In mijn eerdere notatie werd die eerste "macht van 2" aangeduid met 2^n-1; het dubbele daarvan is dan 2ⁿ.

Jouw notatie in de titel noteert die eerste "macht van 2" als 2^e; het dubbele daarvan is dan 2^e+1. De e staat daarin allicht voor exponent, dat mag eender welk natuurlijk getal zijn, zolang maar geldt dat die tweede factor (in jouw notatie dus 2^e+1-1) een priemgetal is.

Ik veronderstel dat je het bewijs zoekt voor de bewering: als een getal van bovenstaande vorm is (dus met die eis dat de tweede factor een priemgetal is), dan is het perfect.

Ik zal dat even uitwerken op een voorbeeld, dan moet jij dit proberen aan te passen voor het algemene geval.

Kijk naar n=5 (of e=4 in jouw notatie, maar ik zal voortaan met die n-notatie werken). Dat geeft het getal 16·31=496. 31 is een priemgetal, dus dit was een goede keuze. Nu, om aan te tonen dat dit getal perfect is, moeten we alle delers vinden, verschillend van 496, en hun som moet juist 496 zijn.

We werken schematisch: eerst de delers die geen veelvoud zijn van 31, dan de delers die wel een veelvoud zijn van 31.

Dus eerst: 1, 2, 4, 8, 16
en dan: 31, 62, 124, 248.

De som van de eerste rij is: 1+2+4+8+16 = 31 (dat is geen toeval, dat zal altijd die priemfactor 2ⁿ-1 zijn)
De som van de tweede rij is: 31·(1+2+4+8) = 31·15

Samen: 31·(15+1)=31·16=496 dus het getal is perfect. Nu nog aan jou om dit voor algemene n op te schrijven en dan is je bewijs rond...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 3 april 2007

Re: Re: Perfecte getallen