WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Algabraisch Toppen van Buigpunten onderscheiden

Hallo,

Ik heb na het lezen van de eerder gestelde vragen gevonden dat een buigpunt altijd op dat punt de tweede afgeleide 0 heeft en van teken wisselt. Dat snap ik, maar de enigste manier om dat te vinden die gegeven wordt is door de tweede afgeleide te schetsen of plotten. Kan je ook algabraisch kijken of een functie van teken wisselt in een punt? Ik heb iets gehoord over Hessiaan, maar ik heb geen idee hoe dit werkt, laat staan hoe ik het kan gebruiken. Heb je dat werkelijk nodig? Zo ja, hoe werkt het?

Hartelijk dank,

Marcus de Vries
Marcus
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 maart 2007

Antwoord

Dag Marcus,

Om te zien of een functie van één variabele, in een nulpunt van teken wisselt, kan je het volgende criterium gebruiken. Let op, jij wil dit criterium dan wel toepassen op de tweede afgeleide van een gegeven functie.

Een functie f(x), waarvoor f(a)=0, verandert van teken in a als:
- f'(a) ¹ 0
- f'(a) = f''(a) = 0 en f⁽³⁾(a) ¹ 0 (dat laatste betekent de derde afgeleide)
- f'(a) = f''(a) = f⁽³⁾(a) = f⁽⁴⁾(a) = 0 en f⁽⁵⁾(a) ¹ 0
- enzovoort, dus als de n'de afgeleide de eerste is die verschilt van nul, dan moet n oneven zijn.

Dit kan je bewijzen door van f(x) de Taylorontwikkeling rond a te nemen, en dan de punten a+h en a-h in te vullen, voor een kleine positieve h. Als h klein genoeg is, domineert de eerste nietnulterm, en dan zie je dat je het gewenste resultaat krijgt.

De Hessiaan is een begrip dat uitsluitsel geeft over de aard van een extremum (minimum/maximum/zadelpunt) wanneer je werkt met functies van meerdere veranderlijken. Het criterium (tweede afgeleide is nul en wisselt van teken geeft een buigpunt) is een ééndimensionale vertaling van die Hessiaan.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 19 maart 2007