WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Optellen van de cijfers van een getal

Hallo,
Als ik het getal 123 neem en alles onderling optel en vereenvoudig dan kom ik altijd op 6 uit. bijv 1+2+3=6, maar ook 12+3=15=1+5=6 of 1+23=24=2+4=6

Neem ik 5461 dan kom je tot 5+4+6+1=16=1+6=7, maar ook
54+61=115=11+5=16=7(of 1+1+5=7, maar ook 546+1=547=54+7=61=6+1=7(of 5+4+7=16=1+6=7) etc etc. Wat is de logica hierachter.
Johnni
Iets anders - woensdag 14 maart 2007

Antwoord

Bij de eerste kun je mooi zien dat je uiteindelijk toch alle cijfers optelt. Bij 1+2+3=6 doe je dat in één keer. Bij 12+3=15 tel je de 2 en de 3 alvast op terwijl je de 1 nog even bewaard. Maar bij 1+5=6 heb je ze toch weer alle drie opgeteld.

Bij het tweede voorbeeld zit het moeilijker omdat de som van de cijfers meer dan 10 is. En toch blijkt het weer te kloppen. Dat is zo mooi dat er inderdaad wel een logica achter zou moeten zitten.

Door alle cijfers op te tellen bepaal je eigenlijk "de rest bij delen door 9". Kijk maar: 1+2+3=6, maar 123 rest9 is ook 6 (met rest9 bedoel ik: de rest bij delen door 9), net als 15 rest9 en 24 rest 9.

En, het rekenen met resten is een elegant stukje wiskunde (daar wordt dat modulo-rekenen genoemd). Bij voorbeeld:
I) Als twee getallen optelt en dan de rest wilt weten kun je net zo goed de resten van de twee getallen optellen. B.v. 56 rest9 = 2, 14 rest9 = 5 en (56+14) rest9 = 7. Dit is niet zo moeilijk te bewijzen.
II) Hetzelfde geldt ook voor vermenigvuldigen: Als twee getallen vermenigvuldigd en dan de rest wilt weten kun je net zo goed de resten vermenigvuldigen. B.v. 21 rest9 = 3, 11 rest9 = 2 en (21·11) rest9 = 2·3. Deze stelling is iets moeilijker te bewijzen.
(Beide stellingen gelden overigens ook voor andere resten)

Welnu: aangezien 10 rest9 = 1
geldt ook: 100 rest9 = (10·10) rest9 = (10 rest9)·(10 rest9) = 1·1 = 1
en op dezelfde manier: 1000 rest9 = 1, etc.
Daardoor geldt weer 20 rest9 = (2·10) rest9 = (2 rest9 · 10 rest9) = 2
en analoog: 2000 rest9 = 200 rest9 = 20 rest9 = 2.
Om precies te zijn geldt voor alle cijfers (c = 1,2,...,9):
c·1000 rest9 = c·100 rest9 = c·10 rest9 = c (rest9)
Er is één uitzondering (zie beneden)

Door de cijfers te verdelen zoals jij dat beschrijft kies je ervoor om sommige cijfers met 10 of 100 te vermenigvuldigen. Maar, omdat je uiteindelijk toch de rest neemt maakt dat voor het antwoord niet uit. QED

Nu nog de ene uizondering: 9 rest9 = 0. Dus als de som van de cijfers 9 is, is de rest bij delen door 9 gelijk aan 0. Andersom: als de rest bij delen door 9 gelijk is aan nul, is de som van de cijfers 9.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 17 maart 2007