WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Wederzijds singulier

Hallo wisfaq,

Zij M een sigma-algebra en v is een willekeurige maat op M.
(1)Als er een verzameling A in M bestaat zodat v(E)=v(A doorsnede E) voor ieder E in M dan zeggen we dat v geconcentreerd is op A.Dit is equivalent met:
(2)De hypothese dat v(E)=0 als (E doorsnede A)=leeg.

Stel dat v1 en v2 maten zijn op de sigma-algebra M, en stel dat er een paar disjuncte verzamelingen A en B bestaan zodat v1 geconcentreerd is op A en vt op B.Dan zeggen we dat v1 en v2 wederzijds singulier zijn.

Ik heb twee vragen over het bewijs van de volgende eigenschap van dit concept:
Stel dat v1 en v2 maten zijn op een sigma-algebra M.Dan geldt:
(3)Als v1 en v2 wed.sing. zijn, dan zijn |v1| en |v2| wed.sing.
bewijs van (3):
(3) volgt uit de volgende uitspraak:
(4)Als v geconcentreerd is op A, dan ook |v|.
bewijs van (4):
Als E doorsnede A=leeg en {E_j} is een partitie van E, dan is v(E_j)=0 voor alle j.Dus |v|(E)=0.

vraag1.Waarom zijn (1) en (2) equivalent?
vraag2.Waarom volgt (3) uit (4)?

Groeten,

Viky
viky
Student hbo - dinsdag 20 februari 2007

Antwoord

Uit 1 volgt 2: als E en A disjunct zijn geldt v(E)=v(E door A)=v(leeg)=0
Uit 2 volgt 1: v(E)=v(E door A)+v(E minus A)=v(E door A) want v(E minus A)=0Uit 4 volgt 3: er zijn A en B met: v1 is geconcentreerd op A, v2 op B en A door B is leeg; wegens 4 zijn |v1| en |v2| geconcentreerd op respectievelijk A en B (en die hebben nog steeds een lege doorsnede.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 22 februari 2007