WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoe lang duurt het om gewenst suikergehalte te halen?

Hallo,
Op school kreeg ik de volgende opdracht. In een vat zit 1000 liter water. Het suikergehalte is 5 gram per liter, maar het moet 2 gram per liter worden. Dat kan op twee manieren. Of ze tappen per uur tegelijkertijd 3 liter water af en voegen 3 liter schoon water toe of ze tappen eerst 3 liter water per uur af en vullen het vat daarna aan met schoon water tot 100 liter.
De vraag is hoe lang het in beide gevallen duurt.
Ik heb zelf al ontdenkt dat in het eerste geval geldt:
Conc[uur] = 5·(1-3/1000)^t en dat t dan ongeveer 305 uur is.
Het tweede geval lukt me niet; ik zie het verschil niet met het eerste geval en ik denk dat de formule hetzelfde is.

Kun je me helpen?
Li-an
Lian
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 februari 2007

Antwoord

De beginsituatie is een vat van 1000 l met 5 g/l suiker, dus 5000 g suiker in het vat. De bedoeling is om een vat van 1000 l te bekomen met maar 2 g/l suiker, dus 2000 g suiker in het vat. Er worden nu twee manieren voorgesteld om die 3000 g suiker die er te veel in zit er uit te halen (om ze te visualiseren kan je inkt in een glas water doen)

In de eerste situatie verdwijnt er elk uur 3 l oplossing uit het vat, maar die 3 l wordt meteen vervangen door zuiver water. Dat betekent dat het suikergehalte elk uur daalt. Er wordt dus ook telkens minder en minder suiker uit het vat gehaald, je voelt dus aan dat in deze situatie je meer tijd zal nodig hebben om de gevraagde concentratie te bereiken.

In de tweede situatie verdwijnt er elk uur telkens 3 l oplossing uit het vat. De concentratie suiker blijft daarbij steeds dezelfde, aangezien de oplossing niet met extra water wordt aangelengd. Het is pas op het einde dat de concentratie ineens zal terugvallen tot 2 g/l, het is alleen nog niet duidelijk op welk moment we het aftappen moeten stoppen en het vat moeten bijvullen om die precieze concentratie te verkrijgen.

De reden dat je dezelfde formule bekomt is trouwens omdat je er onterecht van uitgaat dat je in beide gevallen met exponentiele groei/afname te maken hebt, omdat het hoofdstuk daar over gaat Een andere "fout" is denk ik dat je direct redeneert op concentraties zonder voldoende na te denken over wat er precies aan de hand is.

In het eerste geval verlies je per uur 0.3% van het aanwezige suiker in het water.

Suiker(t) = 5000 . 0,997^t

En aangezien het volume niet verandert

Concentratie(t) = Suiker(t)/Volume(t) = 5000 . 0,997^t / 1000 = 5 . 0,997^t

waaruit Concentratie(t)=2 als t305 u

In het tweede geval blijft de concentratie dezelfde en verliest je elk uur geen relatieve hoeveelheid suiker maar een absolute, namelijk 3.5=15 g per uur.

Suiker(t) = 5000 - 15.t

Om Suiker(t) op de nodige 2000 g te krijgen moeten we het aftappen stoppen op t=200, zodat de concentratie na het aanvullen terugvalt op 2000 g/1000 l = 2 g/l

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 19 februari 2007