WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Absoluut Continue

Hallo wisfaq,

Stel dat f:R-R absoluut continue is.Laat S een deelverzameling van R met maat S gelijk aan nul.Dan heeft het beeld f(S) ook maat nul.

Ik heb twee vragen over het bewijs:

Bewijs
Omdat S Lebesguemaat nul heeft, kun je het overdekken door een aftelbare open interval overdekking {(a_k,b_k)} k=0 tot oneindig, zodanig dat SOM[|b_k-a_k|] delta.

vraag1.Waarom is dit zo?Dus ik begrijp niet waarom als m(S)=0 dat dan S overdekt kan worden door die overdekking en dat dan die som kleiner is dan delta.

Omdat f abs.cont. is, gegeven een eps0 weten we dat er een delta bestaat zodat SOM|b_k-a_k| delta, en dus SOM|f(b_k)-f(a_k)| eps.
{(f(a_k),f(b_k)} vormt een open overdekking van f(S)

vraag2.Waarom vormt {(f(a_k),f(b_k)} een open overdekking van f(S)?

Dus de Lebesgue uitwendige maat m_*(f(S)=SOM|f(b_k)-f(a_k)| eps.Omdat dit geldt voor alle eps, hebben we dat m_*(f(S))=0 en hieruit volgt dat f(S) meetbaar is en dat m(f(S))=0
QED

Groeten,

Viky
viky
Student hbo - dinsdag 30 januari 2007

Antwoord

Alle ingedienten zijn er, maar in de verkeerde volgorde en hier en daar in verkeerde logische termen.
Vraag 1: dat volgt uit de definitie van de (uitwendige) maat; die is het infimum van alle mogelijke sommen som(|b_k-a_k|k=1..oneindig) voor alle mogelijke overdekkingen {(a_k,b_k)}_k van S. Als dat infimum 0 is moet er voor elke d0 een overdekking zijn waarbij de som kleiner dan d is.
Vraag 2: dat hoeft niet; wat wel geldt is dat de beelden van de intervallen f(S) overdekken (omdat de intervallen zelf S overdekken). Omdat f (absoluut) continu is is elk beeld f((a_k,b_k)) een interval, met eindpunten c_k en d_k, maar omdat f niet monotoon hoeft te zijn kan het interval (f(a_k),f(b_k)) kleiner zijn dan (c_k,d_k).
Nu de hoofdstappen in het bewijs in goede volgorde.
Stap 1: zij e0 willekeurig en neem daarbij een d0 als in de definitie van absoluut continu.
Stap 2: bij d vinden we een overdekking {(a_k,b_k)}_k van S, als boven.
Stap 3: de bovengenoemde intervallen met eindpunten c_k en d_k overdekken f(S)
Stap 4: de som som(|d_k-c_k|, k=1..oneindig) is kleiner dan of gelijk aan e. Dit bewijs je door te bewijzen dat alle partiele sommen kleiner dan of gelijk aan e zijn, Dit is een klein beetje lastig. Neem N vast; laat n een natuurlijk getal zijn kies voor elke kN punten x_k en y_k in het k-de interval zo dat f(x_k) dichter dan 1/n bij c_k ligt en f(y_k) dichter dan 1/n bij d_k; omdat som(|y_k-x_k|, k=1..N)d volgt dat som(|f(y_k)-f(x_k)|, k=1..N)e en dus som(|d_k-c_k|, k=1..N)e+2N/n; omdat n wilekeurig was volgt nu som(|d_k-c_k|, k=1..N)e.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 5 februari 2007