WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Formule van Newton en Leibniz

Hallo!
Ik ben op zoek naar het bewijzen van de formules van Newton en Leibniz om pi te benaderen. Ik vraag me af wáárom deze formules nou precies pi op leveren en hoe ze erbij zijn gekomen.

Noortj
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 12 januari 2007

Antwoord

Je vraagt naar iets dat qua moeilijkheidsgraad nogal ver boven de stof van de middelbare school uitsteekt. Ik zie dan ook geen kans om je echt te helpen aan 'eenvoudige' bewijzen. In het algemeen valt er het volgende van te vertellen.
Met behulp van die hogere wiskunde kan worden aangetoond dat veel functies zich laten schrijven als een oneindig voortlopende rij van machten. Er zijn wel wat eisen waaraan de functies moeten voldoen, en de alledaagse functies die we gebruiken, doen dat ook wel.
Zo is bijvoorbeeld sinx = x - (x³)/3! + (x⁵)/5! - (x⁷)/7! enz. enz.
(x in radialen en de noemers zijn de bekende faculteiten die je ook in de kansrekening tegenkomt).
En 1/(1+x) = 1 - x + x² - x³ + x⁴ - x⁵ + ... enz. enz. maar waarbij wel moet gelden dat -1$<$x$<$1

De naam die aan deze theorie kleeft is Taylor, en men spreekt dan ook van Taylorreeksen.
Een tweede naam die hier vallen moet is die van Fourier. Hij liet zien dat, onder bepaalde voorwaarden, functies geschreven kunnen worden als een oneindige rij van sinus- en cosinusfuncties. Zo geldt bijvoorbeeld |x| = ¹/₂$\pi$ - (4/$\pi$).(cos(x) + cos(3x)/(3²) + cos(5x)/(5²) + ....)
Als je deze reeks gewoon wilt accepteren, moet je eens x=0 invullen aan beide kanten. Dan krijg je 0 = ¹/₂$\pi$ - (4/$\pi$).(1+1/(3²)+1/(5²) ...) ofwel $\pi$²/8 = 1 + ¹/₉ + 1/25 + 1/36 ....
Je ziet dus hoe je langs deze weg een rij krijgt waarin het getal $\pi$ benaderd wordt door getallen die niets met $\pi$ te maken hebben.
En zo zijn er talloze van dit soort rijen gevonden.
Op onderstaand adres kun je er heel veel vinden.

url=http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

MBL

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 januari 2007