WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Anagram

Als je 1035 met 3 vermenigvuldigd krijg je 3105 dit is een anagram van 1035. Welk getal van ook 4 getallen vormt ook een anagram als je het met 3 vermenigvuldigd net als het voorbeeld hierboven. Je mag niet met een nul beginnen.
Wie kan mij helpen?
linda
Student hbo - woensdag 3 januari 2007

Antwoord

Om te beginnen: het getal moet liggen tussen 1000 en 3333 anders is 3 keer het getal geen getal van vier cijfers.

Methode 1: brute kracht: schrijf een computerprogramma dat alle getallen tussen 1000 en 3333 met 3 vermenigvuldigt en nagaat of het resultaat een anagram is van het begingetal. Kostte me een kwartiertje en het spoot de volgende antwoorden: 1035 en 2475.
Als het je alleen om het antwoord was te doen hoef je nu niet verder te lezen.

Het kan natuurlijk wel iets slimmer.
Zoals je misschien weet is een getal deelbaar door drie als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Bovendien is een getal deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.

Noem het getal abcd. Noem 3·abcd ABCD, waarbij ABCD een anagram is van abcd.
Omdat ABCD deelbaar is door 3 is A+B+C+D deelbaar door 3. Maar dan is a+b+c+d ook deelbaar door 3. Dus is abcd deelbaar door 3. Maar dan is ABCD deelbaar door 9. Dus is A+B+C+D deelbaar door 9 en a+b+c+d dus ook. Dus is abcd een negenvoud (en ABCD een 27-voud).
Kennelijk hoef je alleen de negenvouden van 1008 tot en met 3330 na te lopen.
Dat zijn er nog maar 259.
Methode 2: maak even een Excel bestandje met deze 259 getallen en hun drievouden. Je ziet het antwoord dan ook vrij vlug.

Oh, moest het zonder computer?
Duidelijk is dat a alleen 1,2 of 3 kan zijn.
Kan a=3 zijn? Als a=3 dan is A=9.
Dan moet een van de drie b, c of d ook een 9 zijn.
b=9 kan niet want 39cd·310000.
We proberen 309d, 319d, 329d (339d kan weer niet).
309d: 3+0+9=12, dan moet d 6 zijn, want 3+0+9+6=18 (en dat is deelbaar door 9). Maar 3096·3=...8, kan dus niet.
319d levert d=18-3-1-9=5. 3195·3=9585, pech.
329d levert d=18-3-2-9=4. 3294·3=9882, pech.
Dus c=9 kan niet.
Misschien d=9: 3bc9. 3bc9·3 gaat uit op een 7 omdat 3·9=27.
Dus b of c moet 7 zijn. b=7 kan niet. We hebben als enige mogelijkheid 3b79.
3+7+9=19, dan is b=27-19=8. En dat kan ook niet.
Conclusie: a=3 kan niet.

We gaan over op a=2.
We proberen 2bc1: 2bc1·3 gaat uit op een 3. Dus b of c=3. 2+1+3=6, dus de andere van de twee is 9-6=3. We krijgen dan 2331·3=6993, pech.
Zelf kun je op soortgelijke manier nagaan dat 2bc2, 2bc3, 2bc6 2bc7 2bc8 en 2bc9 niet kunnen.
2bc0, 2bc4 en 2bc5 zijn iets complexer.
2bc4 maal 3 gaat uit op een 2 omdat 3·4=12. Dit geeft geen nieuwe informatie omdat we al een 2 hebben.
Maar 2bcd maal 3 begin met een 6, een 7 of een 8. Dus b of c moet een 6,7 of 8 zijn.
We kunnen nu volstaan met 26.4, 2.64, 27.4, 2.74, 28.4 en 2.84 te bekijken. Aanvullen tot een negenvoud en controleren. Pech.
2bc0 keer 3 gaat uit op een 0. Geen nieuwe informatie. Kun je onderzoeken net als 2bc4. Weer pech.
2bc5 keer 3 gaat uit op een 5. Ook geen nieuwe informatie:
Controleer 26.5, 2.65, 27.5, 2.75, 28.5 en 2.85
Bijvoorbeeld: 2b75: 2+7+5=14, dus b=18-14=4. 2475·3=7425: Hoera!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 5 januari 2007