WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een verzameling punten z tekenen en beschrijven en beredeneren dat de gevraagde

De opdracht is het tekenen en beschrijven van de verzameling punten z die voldoen aan arg(z/(z-1)=p/4
Verder moet ik van te voren beargumenteren dat de verzameling bevat is in een cirkel.
Geen idee hoe ik moet beginnen.
Ik kom steeds uit op f=-p/(4-p) en dan loop ik vast.
Franci
Student hbo - woensdag 4 oktober 2006

Antwoord

stel z=a+ib
dan is z-1 = (a-1)+ib

Nu moest gelden dat arg(z/z-1)=p/4
(tangens(arg)=1)
ofwel dat Im(z/z-1)/Re(z/z-1)=1
Û

Dit is de gedaante van een cirkel (vergelijk maar met de gedaante van een cirkel zoals je em reeds gewend was. bijv: (x-2)²+(y+3)²=25, dit is een cirkel met middelpunt (2,-3) en straal Ö25 = 5 )
Nu is het dus een cirkel in het complexe vlak, met als middelpunt ¹/₂-¹/₂i
en straal ¹/₂Ö2.

Over de argumentatie hoe je van tevoren kunt zien dat het een cirkel moet worden, is er druk overleg geweest met anderen,.. maar ècht eenvoudig blijkt het dus niet te zijn.
Hieronder volgen de verkregen overwegingen

groeten
martijn
====================================================
Er kan nog worden opgemerkt dat b ongelijk aan 0 moet zijn.

Ik heb nog wel een meetkundig argument.
Bekijk de punten A(0,-1) en B(1,-1) en O(0,0)
Deze punten liggen alle op de door jou gevonden cirkel (ik had deze vanmiddag ook gevonden)
Het is duidelijk dat hoek AOB is 45 graden.
Bekijken we nu punten O' waarvoor hoek AO'B is 45 graden dan krijg je precies de cirkel die jij beschrijft (Stelling van de omtrekshoek.)
Blikwisseling levert dan dat punten Z waarvoor arg(z/(z-1)=1 op deze cirkel moeten liggen.
Meetkundig zou je eigenlijk 4 cirkels moeten krijgen maar dat zal te maken hebben met de georienteerde hoek.
HK

Moet er niet nog bij dat Re en Im van z/(z-1) positief moeten zijn? Anders wordt het argument 5/4 pi.
En om dat van die cirkel op voorhand in te zien: als 1/(1-1/z) op de eerste bissectrice moet liggen, dan moet 1-1/z op de tweede bissectrice liggen, dus moet 1/z op de rechte y=1-x liggen. Maar om dan eenvoudig in te zien dat z op een cirkel ligt? Geen idee...
Christophe

Zie
http://en.wikipedia.org/wiki/Thales'_theorem#Generalization
Zoek eerst de twee punten M en N op de middelloodlijn van 0 en 1 waarvoor de hoeken 0M1 en 0N1 recht zijn de cirkels om M en N, door 0 en 1 zijn de kandidaatcirkels. Wegens de orientatie van de hoek (Arg z - Arg(z-1) = pi/4) moet je het gedeelte van de cirkel om N hebben dat onder de reele as ligt.
kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 5 oktober 2006