WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Functieonderzoek

Dit is een reactie op vraag 45829

Dag Tom,
Een hele tijd geleden al...
IK berekende de afgeleide:
f'(x)= ((2x-m)(x²+2x-3)-(2x+2)(x²-mx-12))/(x²+2x-3)²
UItwerken geeft:
f'(x)=(2x^3+4x²-6x-mx²-2mx+3m-2x^3+2mx²+24x-2x²+2mx+24)/(x²+2x-3)^2
f'(x)= (2+m)x²-(2m+6-2m-24)x+3m+24=0 (= nul stellen nodig voor berekening der nulpunten.
f'(x)= (2+m)x²+18x+3m+24=0
wortels berekenen geeft :
x1,x2=-9+/-Ö((9²--(2+m)(3m+24))
x1,x2= (9+/-Ö((81--6m-48-3m²-24m))/(2+m)
x1,x2=((9+/-Ö(-3m²-30m-33))/(2+m)
x1,x2=((9+/-Ö(-3(m²+10m+11))/(m+2)
x1,x2=((9+/-Ö(-3(m+5-Ö14)(m+5+Ö14))/(m+2)
En nu rijd ik vast
Ofwel is er iets fout gelopen.
Ik weet goed dat ik op de f'(x) een tekenonderzoek moet doen en daaruit de dalende funktie uit het gedrag van m afleiden,maar ik vind m niet...uit mijn berekeningen!
Groeten
Rik

Rik
Ouder - vrijdag 9 juni 2006

Antwoord

Beste Rik,

Je was goed vertrokken, maar maakt het dan ingewikkelder dan nodig. We hebben namelijk de nulpunten van de afgeleide niet echt nodig, we zouden zelfs graag hebben dat er geen zijn (of een dubbel nulpunt, rakend dus). Wat we namelijk willen is dat de afgeleide steeds negatief is.

De afgeleide heeft een kwadraat als noemer, dus dat is steeds positief. Het geheel is dus negatief als de teller negatief is. De teller is een kwadratische vergelijking in x en stelt meetkundig dus een parabool voor. We willen dat deze vergelijking voor elke x negatief is, dus zoeken we een parabool niet boven de x-as komt.

Dit betekent dat het een topparabool moet zijn (coëfficiënt van x² moet negatief zijn) en dat de discriminant niet positief mag zijn (want dan zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as en hebben we dus een gedeeltelijk positieve afgeleide).

Samengevat: zorg dan de discriminant negatief is en dat de coëfficiënt van x² dat ook is. De eerste voorwaarde zal twee mogelijke intervallen voor m geven, de laatste voorwaarde zal er één van onmogelijk maken.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 9 juni 2006

Re: Re: Functieonderzoek